Determinar Puntos críticos y extremos de la función
$$\begin{align}&f(x,y)=(x-y+1)^2\end{align}$$A-Hallar los puntos critios
B-Determinar los extremos
C-Hallar los puntos del gráfico de f, tales que el plano tangente sea paralelo al plano xy.
Mi duda esta en determinar los extremos ya que determino el punto critico en (0,1) pero llego al caso de duda donde el determinante de la matriz hessiana es igual a cero. No se que criterio aplicar estuve viendo de aplicar una forma cuadrática pero me quede ahí.
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¡Hola Brian!
Veamos
fx = 2(x-y+1) = 0
fy = -2(x-y+1) =0
Las dos derivadas nos dan la misma información respecto al cáculo de los puntos críticos
x - y + 1= 0
y=x+1
Todos los puntos de la recta y=x+1 son críticos
El hessiano se calcula con las derivadas segundas
fxx = 2 fxy = -2
fyx = -2 fyy = 2
El menor de orden uno es 2
El menor de orden dos es 0
Los criterios no te dicen nada para este caso.
Pero es sencillo ver que esos puntos son mínimos relativos, ya que la función es no negativa:
f(x,y) = (x-y+1)^2 >= 0
Y en esos puntos la función vale 0
f(x, x+1) = (x-(x+1)+1)^2 = (x-x-1+ 1)^2 = 0
Luego esa es la forma de averiguar los extremos y el resultado es que
Todos los puntos de la curva de la forma
(x, x+1, 0) son mínimos relativos
Y eso es todo, sa lu dos.
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