Cómo resuelvo este problema, en el cual tengo que determinar si los vectores son linealmente independientes?

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¡Hola Miguel Angel!

Esos son los símbolos de infinito, seguramente has confundido la letra griega alfa con ellos.

Para que valores de α son l.i. Los vectores (α, 1,0) y (1, α, 0) en R³

Hay mil formas de demostrar la dependencia o independencia lineal, yo voy a hacerlo por definición ya que no sé si has dado que dos vectores son dependientes cuando son proporcionales o si has dado ya rangos y determinantes.

Entonces hago lo mismo de siempre, tomo una combinación lineal igualada a 0 y veo si la única respuesta es todo ceros o existe alguna otra.

a(α,1,0)+b(1,α,0) = (0,0,0)

aα + b = 0   ==> b = -aα

a + bα = 0  ==> a +(-aα)α = 0

a - aα^2 = 0

a(1-α^2) = 0

Eso siempre tiene la solución a=0, b=0

Pero puede tener soluciones distintas de a=b=0 si

1-α^2 = 0

α=1  y α=-1

Ya que entonces los vectores son

(1,1,0) y  (1,1,0)

y podemos tomar a=1, b=-1

(1,1,0 ) - (1,1,0) = (0,0,0)

o son

(-1,1,0) y (1,-1,0)

y tomando a=1, b=1

(1-,1,0) + (1, -1, 0) = (0,0,0)

Resumiendo, la respuesta es.

Son l.i. para todos los valores de α de R salvo -1 y 1

Y eso es todo, saludos.

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