De que manera se puede demostrar el siguiente caso?
Si W={V1, V2... Vn} es un conjunto de vectores l.i es un espacio vectorial sobre los reales, demuestra que cualquier subconjunto no vacío de W es l.i
1 Respuesta
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¡Hola Miguel Angel!
La propiedad de ser linealmente independiente se transmite a los subconjuntos.
Ya que el conjunto de combinaciones lineales de un subconjunto es un subconjunto de las combinaciones lineales del conjunto.
Entonces, si en el conjunto la única combinación lineal que valía cero era aquella con todos los coeficientes 0, significa que no había otra, y dado un subcanjunto de los vectores la única que valdrá cero será la que tiene todos los coeficientes 0.
Me explico:
a1·v1 + a2·v2 + ... + an·vn = 0 si y solo sí a1=a2=...= an=0
Entoces dado un subconjunto supongamos que
ai·vi + aj·vj + ...+ ak·vk = 0 y alguno de ellos es distinto de cero
Si añadimos todos los vectores que faltan con coeficiente 0 tendremos
0v1+ 0v2 + ai·vi + aj·vj + ...+ ak·vk + ...+ 0·vn = 0
Y tendremos una combinación lineal igual a 0 del conjunto original con algún coeficiente distinto de cero, eso es absurdo ya que era un conjunto linelamente independiente.
La combinación lineal última no se escribió con mucho rigor pero espero entiendas lo que quiero decir.
Saludos.
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