Volumen de un elipsoide en coordenadas esféricas

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¡Hola Juan Salvador!

Los límites en x son

4x^2 = 16

x^2 = 4

x=+-2

x € [-2, 2]

En y son

4x^2+4y^2=16

x^2 + y^2 = 4

y = +- sqrt(4-x^2)

y € [-sqrt(4-x^2), +sqrt(4-x^2)]

Y en z

z=+-sqrt(16-4x^2-4y^2)

z=+-2 sqrt(4-x^2-y^2)

$$\begin{align}&V=\int_{-2}^2\int_{- \sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{-2 \sqrt{4-x^2-y^2}}^{2 \sqrt{4-x^2-y^2}}dz\,dy\,dx=\frac{64}{3}\pi\\&\\&\text{Las coordenadas esféricas son buenas si los límites de}\\&r \text{ son constantes, igualaremos los semiejes}\\&\\&\text{La ecuación canónica del elipsoide es}\\&\\&\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{2^2}+\frac{z^2}{4^2}=1\\&\\&\text{Hacemos estos cambios}\\&\\&x=2u \implies dx=2du\\&y=2v\implies dy=2dv\\&z=4w\implies dz = 4dw\\&\\&\text{El jacobiano del cambio es}\\&|2\;0\;0|\\&|0 \;2\;0|=16\\&|0\;0\;4|\\&\\&\text{Y la función queda}\\&u^2+v^2+w^2=1\\&\\&\text{Que es una esfera de radio 1 y la integral en}\\&\text{coordenadas esféricas es esta}\\&\\&V=\int_{0}^1\int_0^{2\pi}\int_0^\pi 16·r^2 sen\varphi\;d\varphi\,d\theta\,d r=\\&\\&\int_{0}^1\int_0^{2\pi}16r^2(-\cos \varphi)\bigg|_0^{\pi}\;d\theta\,d r=\\&\\&\int_{0}^1\int_0^{2\pi}16r^2(-(-1)-(-1))\;d\theta\,d r=\\&\\&\int_{0}^1\int_0^{2\pi}32r^2\;d\theta\,d r=\\&\\&\int_{0}^132r^2\theta\bigg|_0^{2\pi}dr=\\&\\&\int_{0}^164\pi r^2 \;dr=\\&\\&64\pi \frac{r^3}{3}\bigg|_{0}^1=\frac{64\pi}3\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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