Volumen de un elipsoide en coordenadas esféricas
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[/url]Volumen del elipsoide en coordenadas esféricas con integrales triples.
El ejercicio viene dado por la siguiente ecuación : 4x^2+4y^2+z^2=16
Ya la realice en coordenadas cartesianas y el resultado fue de 64/3 de pi al cuadrado
x²=þsen²phi*cos²theta
y²=þsen²phi*sen²theta
,z²=þos²phi
Pero tengo una duda de como plantear las integrales, osea los limites de la integral(solamente se los limites en los ángulos pero agradecería que me los plantearan para estar seguro)
Quiero saber los limites en p
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¡Hola Juan Salvador!
Los límites en x son
4x^2 = 16
x^2 = 4
x=+-2
x € [-2, 2]
En y son
4x^2+4y^2=16
x^2 + y^2 = 4
y = +- sqrt(4-x^2)
y € [-sqrt(4-x^2), +sqrt(4-x^2)]
Y en z
z=+-sqrt(16-4x^2-4y^2)
z=+-2 sqrt(4-x^2-y^2)
$$\begin{align}&V=\int_{-2}^2\int_{- \sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{-2 \sqrt{4-x^2-y^2}}^{2 \sqrt{4-x^2-y^2}}dz\,dy\,dx=\frac{64}{3}\pi\\&\\&\text{Las coordenadas esféricas son buenas si los límites de}\\&r \text{ son constantes, igualaremos los semiejes}\\&\\&\text{La ecuación canónica del elipsoide es}\\&\\&\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{2^2}+\frac{z^2}{4^2}=1\\&\\&\text{Hacemos estos cambios}\\&\\&x=2u \implies dx=2du\\&y=2v\implies dy=2dv\\&z=4w\implies dz = 4dw\\&\\&\text{El jacobiano del cambio es}\\&|2\;0\;0|\\&|0 \;2\;0|=16\\&|0\;0\;4|\\&\\&\text{Y la función queda}\\&u^2+v^2+w^2=1\\&\\&\text{Que es una esfera de radio 1 y la integral en}\\&\text{coordenadas esféricas es esta}\\&\\&V=\int_{0}^1\int_0^{2\pi}\int_0^\pi 16·r^2 sen\varphi\;d\varphi\,d\theta\,d r=\\&\\&\int_{0}^1\int_0^{2\pi}16r^2(-\cos \varphi)\bigg|_0^{\pi}\;d\theta\,d r=\\&\\&\int_{0}^1\int_0^{2\pi}16r^2(-(-1)-(-1))\;d\theta\,d r=\\&\\&\int_{0}^1\int_0^{2\pi}32r^2\;d\theta\,d r=\\&\\&\int_{0}^132r^2\theta\bigg|_0^{2\pi}dr=\\&\\&\int_{0}^164\pi r^2 \;dr=\\&\\&64\pi \frac{r^3}{3}\bigg|_{0}^1=\frac{64\pi}3\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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¡Muchas Gracias! Sr @valero Valero Angel Serrano Mercadal ange
Por resolverla, la resolví de otra forma pero me complique más
