Encuentre las coordenadas rectangulares y cilíndricas del punto p dado en coordenadas esféricas

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¡Hola Alexander!

Sabrás que la correspondencia entre esféricas y rectangulares es esta

$$\begin{align}&x= r \,sen\,\varphi \cos \theta\\&y= r \,sen\,\varphi sen \theta\\&z=r \cos \varphi\\&\\&a)\\&\\&x= 2 sen \frac{\pi}{4}\cos \frac{\pi}{6}=2 \frac{\sqrt 2}{2}·\frac{\sqrt 3}{2}=\frac{\sqrt 6}{2}\\&\\&y= 2 sen \frac{\pi}{4}sen \frac{\pi}{6}= 2 \frac{\sqrt 2}{2}·\frac 12= \frac{\sqrt 2}2\\&\\&z=2cos \frac\pi 4=2·\frac{\sqrt 2}{2}= \sqrt 2\\&\\&(x,y,z) =\left(\frac{\sqrt 6}{2}, \frac{\sqrt 2}2,\sqrt 2  \right)\\&\\&\text{Y las cilíndricas son}\\&\\&x=\rho \cos\theta\\&y=\rho\, sen\,\theta\\&z=z\\&\\&\text{donde }\theta \text{ es el mismo en esféricas que cilíndricas}\\&\\&\text{Y podemos despejar } \rho\text{ así}\\&\\&x^2=\rho^2cos^2\theta\\&y^2= \rho^2sen^2\theta\\&x^2+y^2= \rho^2(\cos^2\theta+sen^2\theta) = \rho^2\\&\rho= \sqrt{x^2+y^2}\\&\\&\text{luego las cilíndricas son}\\&\\&(\rho, \theta,z)=\left(\frac 64+\frac 24,\frac{\pi}{6},\sqrt 2   \right)= \left(2, \frac{\pi} 6 , \sqrt 2 \right)\end{align}$$

Y eso es todo, los otros dos son iguales pero llevan un poco de trabajo, si quieres que los haga debes mandarlos en otras preguntas nuevas.

Saludos.

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Hola muchas gracias por tu ayuda, quería saber es, ¿de dónde salen las raíces del ejercicio a? . Gracias.

Son los senos y cosenos de los ángulos conocidos, ten en cuenta que

pi/4 = 45º

pi/6 = 30º

Y supongo conocerás los senos y cosenos de esos ángulos.