Una integral complicada, me podrían asistir?
$$\begin{align}&\int\frac {\sqrt{x}-\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x}+1}dx\end{align}$$Tengo la siguiente integral... Y no le hallo pies ni cabeza:
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Ángela!
Desde luego que no tiene ni pies ni cabeza. Pero ya sabes que un cambio, la derivada del cambio debe ser un factor del integrando, luego sacaremos factor común y veremos si se puede hacer algo
$$\begin{align}&\int \frac{\sqrt x- \sqrt[6]x}{\sqrt[3]x+1}dx=\\&\\&\int \frac{x^{\frac 12}-x^{\frac 16}}{x^{ \frac 13}+1}dx=\\&\\&\frac 12-\frac 16 = \frac{3-1}{6}=\frac 26=\frac{1}{3}\\&\\&=\int \frac{x^{\frac 16}\left(x^{\frac 13}-1\right)}{x^{\frac 13}+1}dx=\\&\\&t= x^{\frac 76}\implies x=t^{\frac 67}\\&dt = \frac 76x^{\frac 16}dx\implies x^{\frac{1}{6}}dx=\frac 67 dt\\&\\&\frac 67\int \frac{t^{\frac 6{21}}-1}{t^{\frac{6}{21}}+1}dt=\frac 67\int \frac{t^{\frac 2{7}}-1}{t^{\frac{2}{7}}+1}dt=\\&\\&u=t^{\frac{2}{7}}\implies t=u^{\frac{7}{2}}\\&\\&dt=\frac 72u^{\frac 52}dt\\&\\&= 3\int \frac{u-1}{u+1}u^{\frac{5}{2}}du\\&\\&\end{align}$$Hemos hecho dos cambios y estamos parecido al principio o peor. Es hora de desempolvar el libro donde está la teoría de las integrales binomias y usarla. Eso será luego.
Vamos a ver
$$\begin{align}&\int \frac{x^{\frac 12}-x^{\frac 16}}{x^{ \frac 13}+1}dx=\\&\\&\int \left(x^{\frac 12}-x^{\frac 16} \right)\left(x^{ \frac 13}+1 \right)^{-1}dx\\&\\&\text{Y mi teoria me dice que en una integral binomia}\\&\int x^m(a+bx^n)^p dx\\&\text{se hace primero un cambio }\;x=z^{\frac 1n}\\&\\&x=z^3\\&dx=3z^2 dx\\&\\&=\int \left(z^{\frac 32}-z^{\frac 36}\right)(z+1)^{-1}·3z^2\;dz=\\&\\&3\int\left( z^{\frac 72} -z^{\frac 52} \right)(z+1)^{-1}dz=\\&\\&\text{Y luego dice que si queda una función de }z^{\frac rs}\\&\text{hagamos el cambio }\;z=t^s\\&\\&z=t^2\\&dz= 2t \;dt\\&\\&=3\int \left(t^7-t^5\right)(t^2+1)^{-1}·2t\;dt\\&\\&=6\int \frac{t^8-t^6}{t^2+1}dt =\\&\\&\text{y tomando boli y papel y haciendo la división entera}\\&\text {de polinomios queda}\\&\\&6\int\left(t^6-2t^4+2t^2-2+\frac 2{t^2+1} \right)dt=\\&\\&6\left(\frac{t^7}{7}-\frac{2t^5}{5}+\frac{2t^3}{3}-2t+2 arctg\,t\right)+C=\\&\\&\text{los cambios han sido }z=t^2, \quad x=z^3\\&t=z^{\frac 12},\quad z=x^\frac 13\\&t= x^{\frac 16}\\&\\&=6\left(\frac{x^{\frac 76}}{7}-\frac{2x^{\frac 56}}{5} +\frac{2t^{\frac 12}}{3}-2x^{\frac 16}+2 arctg\, x^{\frac 16}\right)+C\\&\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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