Al derretirse una bola de nieve, con unradio inicial de 12 cm, su radio decrece aúna razón constante de 0.5 cm/h.

;)
Hola alexander perez!

Volumen estera:

$$\begin{align}&V=\frac{4}{3} \pi R^3\\&\\&R(12h)=12-0.5·12=6 \ cm\\&\\&\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dR}·\frac{dR}{dt}=\frac{4}{3} \pi 3 R^2 \frac{dR}{dt}=4 \pi R^2 \frac{dR}{dt}\\&\\&\frac{dV}{dt}\Bigg |_{t=12}=4 \pi 6^2·0.5=72 \pi \ cm^3/hr\end{align}$$

la c)

Saludos

;)

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¡Hola Alexander!

$$\begin{align}&\text{En un instante determinado la bola tiene un radio r}\\&\text{No pongo r(t) porque es más incomodo de usar}\\&\text{Entonces su volumen es:}\\&\\&V(t) = \frac 43\pi\, r^3\\&\\&\text{En un instante posterior }t+dt\text{ el radio es}\\&\\&r(t+dt) = r-0.5dt\\&\\&\text{Y por lo tanto su volumen es}\\&\\&V(t+dt) = \frac 43 \pi(r-0.5dt)^3\\&\\&\text{Luego la razón de cambio es}\\&\\&V'(t)=\lim_{dt\to 0}\frac{V(t+dt)-V(t)}{dt}=\\&\\&\lim_{dt\to 0} \frac{\frac 43 \pi(r-0.5dt)^3-\frac 43\pi r^3}{dt}=\\&\\&\lim_{dt\to 0}\frac{\frac 43 \pi\left(r^3-3·0.5\,r^2dt+3·0.5^2\,r(dt)^2 -0.5^3(dt)^3-r^3 \right)}{dt}=\\&\\&\lim_{dt\to 0}\frac 43\pi\left(-1.5r^2+0.75r\,dt -0.125(dt)^2 \right)=\\&\\&-\frac{4}{3}·1.5\pi r^2= -2\pi r^2\\&\\&V'(12) = -2\pi(r(12))^2 =\\&\\&r(12)=12-0.5·12= 6cm\\&\\&= -2\pi ·6^2 = -72\pi\, cm^3/h\end{align}$$

Y la respuesta es la C.  Lo del signo (-) es porque yo calculé la tasa de crecimiento que es lo que habría que calcular siempre, ya que la tasa de disminución no hará más que crear controversias.  Tú calculas la tasa de crecimiento y si te da signo menos significa que disminuye.  Mientras que si dices la tasa de dsiminución el 50% ela gente lo hará de una forma y el otro 50% de otra y no se pondrán de acuerdo.

Saludos.

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