Ejercicio Ecuaciones diferenciales - series de Taylor

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¡Hola Jrdg1115!

Los numeradores y denominadores compuestos deben ir siempre entre paréntesis

dy/dx=1/(x+y+1)

Calcularemos las derivadas en x=0 para sustituirlas en la serie de Taylor

$$\begin{align}&y'=\frac{1}{x+y+1}\\&\\&y''=\frac{-(1+y')}{(x+y+1)^2}\\&\\&y'''=\frac{-y''(x+y+1)^2+(1+y')·2(x+y+1)·(1+y')}{(x+y+1)^4}=\\&\\&\frac{-y''(x+y+1)+2(1+y')^2}{(x+y+1)^3}\\&\\&\text{Y esto se complica en exceso ya no haremos más términos}\\&\\&\text{Calculamos estos valores en x=0 y y(0)=0}\\&\\&y'(0)=\frac{1}{0+0+1}=1\\&\\&y''(0)=\frac{-(1+1)}{(0+0+1)^2}=-2\\&\\&y'''(0)=\frac{-2(0+0+1)+2(1+1)^2}{(0+0+1)^3}=\frac{-2+4}{1}=2\\&\\&\text{Con lo cual la serie de Taylor que es}\\&\\&y(x)=y(0)+y'(0)x+\frac{y''(0)}{2!}x^2+\frac{y'''(0)}{3!}x^3+...\\&\\&\text{será}\\&\\&y(x)= 0 +1·x +\frac{-2}{2}x^2+\frac{2}{6}x^3\\&\\&y(x)=x -x^2+\frac 13x^3\end{align}$$

Y eso es todo,  sa lu dos.

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