Álgebra abstracta... Problemas de acciones de grupos cíclicos!
- ¿El grupo Z_4 x Z_8 es cíclico?, ¿Por qué?.
- Usando la respuesta anterior, entonces: ¿Es isomorfo a Z_32?, ¿Por qué?.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Zankass!
No es cíclico. Si lo fuera habría al menos un elemento de orden 32.
Pero el orden de un elemento es el mínimo común múltiplo de los ordenes respectivos de la componente en Z4 y Z8
En Z4 el orden podrá ser {1,2,4} y en Z8 podrá ser {1,2,4,8}
Cualquier mínimo común múltiplo de un numero del primer grupo con uno del segundo da un máximo de 8, luego no hay ningún elemento de orden 32 y el grupo no puede ser cíclico.
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No, no puede ser isomorfo ya que un isomorfismo transforma grupos cíclicos en grupos cíclicos y grupos no cíclicos en grupos no cíclicos. Entonces como Z4 x Z8 no es cíclico los grupos isomorfos a él no son cíclicos. Y como Z32 es cíclico entonces no son isomorfos.
Y eso es todo, sa lu dos.
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