De que manera se resuelve el problema siguiente de bases, dimensiones?
Considera el subespacio W={v e R^3: v*(1,1,1)=0} de R^3, Halla una base para V ¿Cuál es la dimensión de W?
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¡Hola Mike!
Sea (x, y, z) un vector de ese subespacio vectorial W, entonces
(x,y,z) · (1,1,1) = x·1 + y·1 + z·1 = x+y+z = 0
Esto es una condición en un espacio de dimensión 3, luego la dimensión del subespació disminuye en 1 y queda 3-1=2.
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Otra forma es esta
W = {(x,y,z) € R3 | x+y+z = 0} =
{(x,y,z) € R3 | z = -x-y}=
{(x,y,-x-y) € R3}=
{x(1, 0, -1)+ y(0,1,-1) € R3}
Y todo vector de ese espacio es puede poner como combinación lineal de dos vectores que son independientes ya que uno tiene cero en coordenadas que el otro no. Por lo tanto la dimensón es 2.
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Y eso es todo, sa lu dos.
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1 respuesta más de otro experto
;)
Hola Mike!
Entiendo que v*(1,1,1)=0 quiere decir producto escalar.
Con lo cual los vectores v=(x,y,x) del subespacio W, cumplen:
(x,y,z)*(1,1,1)=0
x+y+z=0
Esta condición reduce en uno la dimensión:
z=-x-y
dimW=3-1=2
Los vectores de este subespacio son de la forma: (x,y, -x-y)
Base: {(1,1,-2), (1,0,-1)}
Saludos
;)
;)