Cómo determino la dimensión con estos datos?

La dimensión de un subespacio es el número de vectores linealmente independientes. Tenemos las condiciones:

$$\begin{align}&a+b-d=0\\\\&a-b+c=0\end{align}$$

Es decir, 4 incógnitas y dos ecuaciones (en las que d y c vienen dados en función de a y b). Por tanto, la dimensión del subespacio W es:

$$\begin{align}&dim(W)=2\end{align}$$

Ya que dicho subespacio es generado por a y b.

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Hola Mike Ponce!

Cada condición reduce en uno la dimensión del subespacio.

como hay dos condiciones,  la dimensión de W=4-2=2

Saludos

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¡Hola Mike!

Puedes poner el espacio vectorial como combinación lineal de dos vectores independientes pero no de 1, entonces 2 es la dimensión

W={(a,b,c,d) € R^4 | d= a+b y c= a-b} =

{(a, b, a-b, a+b) € e R^4} =

{(a, 0, a, a) + (0, b, -b, b) € R4} =

{a(1,0,1,1) + b(0,1,-1,1) € R4}}

Luego puedes poner el espacio como combinación lineal de dos vectores

(1,0,1,1) y (0,1,-1,1)

Los cuales son independientes, nada más que en dos vectores donde uno tiene 0 el otro tiene un número ya son independientes.

Y por ser independientes el espacio no puede ser generado por un solo vector, ya que si asi lo fuese para poder generar las combinaciones de solo el primero sería

v = k(1,0,1,1)

y para poder generar las de solo el segundo sería

v = c(0,1,-1,1)

luego

k(1,0,1,1) =c(0,1,-1,1)

k·1 = c·0   ==> k=0

luego v = 0·(1,0,1,1) = (0,0,0,0)

Y el vector nulo no genera un espacio de dimensión 2.

El método no es complicado simplemente ha sido larga la explicación y demostración, pero despcomponer el espacio como combinación lineal de vectores independientes ha sido sencillo.

Y eso es todo, sa lu dos.

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