De que manera se resuelve este ejercicio de vectores que se me ha hecho complejo?
Sean v, w1, w2 e R^3 espacio vectorial sobre R, demuestra que si v es perpendicular a w1 y w2 entonces es perpendicular a cualquier combinación lineal de ellos dos
Debes de tener en cuenta que al ser los tres vectores un espacio vectorial sobre R, los tres son linealmente independientes. En consecuencia, w1 y w2 son linealmente independientes y forman un espacio vectorial sobre R^2 (dos vectores linealmente independientes determinan un plano). Por tanto, si v es perpendicular a w1 y a w2 también lo será al plano determinado por ellos, o lo que es lo mismo, a cualquier combinación lineal de w1 y w2.
1 respuesta más de otro experto
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¡Hola Mike!
Debes saber que dos vectores se dicen perpendiculares cuando su producto escalar es cero.
Y debes saber que un producto escalar es una función del espacio vectorial por el espaco vectorial en R que cumple estas condiciones
p: VxV ------>R
(u,v) ----> <u, v>
Es bilineal:
1) <u+v, w> = <u, w> + <v, w>
2) <u, v+w> = <u, v> + <u, w>
3) <au, v> = a<u, v> Donde a es un elemento del cuerpo del espacio V
Es simétrico:
<u, v> = <v, u>
Es definido positivo:
Para todo u de V no nulo se tiene <u, u> > 0
-----
Entonces basta aplicar estas propiedades:
Tenemos que v es perperpicular a w1 y w2, entonces
<w1, v> = 0
<w2, v> = 0
Tomemos una combinación lineal de w1 y w2
aw1 + bw2
Veamos que es perpendicular a v, lo será si el producto escalar es 0
<aw1+ bw2, v> = <aw1, v> + <aw2, v> = a<w1, v> + b<w2, v> =
a·0 + b·0 = 0 + 0 = 0
Luego lo es.
Y eso es todo, sa lu dos.
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