Resolver ecuación diferencial con transfomada de Laplace

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¡Hola Sara!

Hallamos la transformada de Laplace en los dos lados de la ecuación.

$$\begin{align}&\mathcal L\{y''+y\}=\mathcal L\{sen\,2t\}\\&\\&\mathcal L\{y''\}+\mathcal L\{y\}=\frac 2{s^2+4}\\&\\&s^2\,\mathcal L\{y\}-s·y(0)-y'(0)+\mathcal L\{y\}=\frac 2{s^2+4}\\&\\&s^2\,\mathcal L\{y\}-0-1+\mathcal L\{y\}=\frac 2{s^2+4}\\&\\&\mathcal L\{y\}(s^2+1)=\frac 2{s^2+4}+1\\&\\&\mathcal L\{y\} =\frac{2}{(s^2+4)(s^2+1)}+\frac{1}{s^2+1}\\&\\&y= \mathcal L^{-1}\left\{\frac{2}{(s^2+4)(s^2+1)}+\frac{1}{s^2+1} \right\}\\&\\&\text{No es fácil, descomponemos en fracciones }\\&\text{simples el primer término}\\&\\&\frac{as+b}{s^2+4}+\frac {cs+d}{s^2+1}=\\&\\&\frac{(a+c)s^3+(b+d)s^2+(a+4c)s+b+4d}{(s^2+4)(s^2+1)}\\&\\&\text{El numerador es lo que interesa y debe ser 2}\\&a+c=0 \implies a=-c\\&a+4c=0\implies-c+4c=0\implies c=0\implies a=0\\&b+d=0\implies b=-d\\&b+4d=2\implies-d+4d=2\implies d= \frac 23\implies b=-\frac 23\\&\\&y=\mathcal L^{-1}\left\{-\frac 23·\frac 1{s^2+4}+\frac 23·\frac{1}{s^2+1}+\frac 1{s^2+1}\right\}\\&\\&y=-\frac{sen \,2t}{3}+\frac{5\,sen \,t}{3}\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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