Calcular la ecuación general de la elipse dados los siguientes componentes
a) v1(2,5)v2(2,1) e=1/2
b) v1(2,5)v2(10,5)F1(4,5)
c) F1(2,5)F2(2,6) Eje mayor 6
1 respuesta
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¡Hola Ginecólogo!
1) A traves de las vértices podemos conocer el centro de la elipse que es uno de los elementos necesarios para la ecuación canónica y el semieje mayor, también necesario. Nos faltaría conocer el semieje menor, eso lo llegaremos a conocer con al excentricidad que nos dan
El centro es el punto medio de los vértices.
c=(1/2)[(2, 5) + (2, 1)] = (1/2)(4, 6) = (2, 3)
El eje longitudinal es vertical, ya que los vértices tienen la misma coordenada x, el semieje mayor es la distancia del centro a uno de los vértices. Puesto quela distancia es vertical no vamos a montar la parafernalia de la raíz cuadrada de la suma de las diferencias elevadas al cuadrado. La distancia es la diferencia en la coordenada que tienen distinta.
La distancia entre (2, 3) y (2, 5) es 5-3 = 2
Luego el valor a de la ecuación es 2, pero cuidado, que esta vez va debajo de la y.
a=2
Le excentricidad es
e = c/a = 1/2
c= a/2 = 2/2 = 1
y la relación que se da en la elipse es
b^2 + c^2 = a^2
b^2 = a^2 - c^2
sustituyendo el valor de a y de c obtenido arriba
b^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3
No necesitamos extraer la raíz, para la ecuación se necesita b^2.
Y con todos los datos obtenidos tenemos que la ecuación canónica es:
$$\begin{align}&\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1\\&\\&\frac{(x-2)^2}{3}+\frac{(y-3)^2}{4}=1\\&\\&\text{multiplicando por 12}\\&\\&4(x-2)^2+3(y-3)^2=12\\&\\&4x^2-16x +16 +3y^2-18y+27 = 12\\&\\&4x^2+3y^2-16x-18y+15=0\end{align}$$Y eso es todo, son ejercicios que llevan algode trabajo cada uno debe ir en su propia pregunta, si quieres manda los otros dos en sendas preguntas.
Sa lu dos.
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