Desarrollo de uno de los siguientes ejercicio de integrales

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Hola Johann!

$$\begin{align}&\int \frac{e^{4x}}{\sqrt {4\Big[1- \Big(\frac{e^{4x}}{2}\Big)^2\Big]}}dx =\\&\\&\frac{1}{2}\int \frac{e^{4x}}{\sqrt {\Big[1- \Big(\frac{e^{4x}}{2}\Big)^2\Big]}}dx =\\&\\&\frac{e^{4x}}{2}=t\\&\\&\frac{1}{2}4 e^{4x}dx=dt\\&e^{4x}dx=\frac{1}{2}dt\\&\\&\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\frac{dt}{2}=\frac{1}{4} arcsent= \frac{1}{4} arc sen \Big(\frac{e^{4x}}{2} \Big)+C\\&\\&\end{align}$$

SAludos

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¡Hola Johann!

Yo haré la otra:

Resulta obvio que el cambio debe ser t=cosx, ya que así el numerador quedará absorbido con la diferencial. Usaré el cambio simultáneo de los límites de integración, que sé que es algo poco popular pero hay que aprender a hacerlo.

$$\begin{align}&\int_0^{\frac \pi 2} \frac{sen\,x}{25+\cos^2x}dx=\\&\\&t=\cos x\\&dt = -sen\, x\;dx\implies senx\;dx=-dt\\&\\&x=0\implies t= \cos 0=1\\&x=\frac{\pi}{2}\implies t=\cos \frac \pi 2=0\\&\\&=-\int_1^0 \frac{dt}{25+t^2}=\\&\\&\text{Hacemos unos retoques para dejar dentro la}\\&\text {derivada exacta de un arco tangente.}\\&\text{El signo menos lo quitamos intercambiando los límites}\\&\\&=\frac {1}{25}\int_0^1 \frac{dt}{1+\frac{t^2}{25}}=\frac {1}{25}\int_0^1 \frac{dt}{1+\left(\frac{t}{5}\right)^2}=\\&\\&\frac {1}{25}·5\int_0^1 \frac{\frac 15dt}{1+\left(\frac{t}{5}\right)^2}=\\&\\&\frac 15 ·arctg \frac t5\Bigg|_0^1=\frac 15arctg \frac 15\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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