¿Cómo puedo sacar la integral de una raíz cuadrada con fracción?

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No es sencilla esta integral ya que tienes que acabar haciendo una sustitución trigonométrica o más sencilla una sustitución hiperbólica. Te la trabajo hasta la sustitución y a partir de ahí te recomiendo la hiperbólica:

$$\begin{align}&=\ \int \sqrt {(\frac{x}{2}+2b)^2+16b^2}\ dx\\&\\&u=\frac{x}{2}+2b \Rightarrow du=\frac{dx}{2} \Rightarrow dx= 2 du\\&\\&= \int \sqrt {u^2+16b^2}\ 2 du=\\&\\&=2 \int \sqrt{16b^2 \Big(\frac{u^2}{16b^2}+1\Big)}\ \ du=\\&\\&\\&\\&=2·4·b \int \sqrt  {(\frac{u}{16b})^2+1} \ du=\\&\\&t=\frac{u}{16b} \Rightarrow du= 16b \ dt\\&\\&=8b \int \sqrt {t^2+1}\ \ 16b \ dt=\\&\\&=128b^2 \int \sqrt {t^2+1}\ dt\\&\end{align}$$

esta integral es la que se puede hacer de dos maneras:

Cambio trigonométrico: t =tanz

Cambio hiperbólico: t=senhz

Te la dejo a ver si acabas

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Sino la mandas en otra pregunta

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