Un ejercicio en el cual se debe utilizar variables ligadas
Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. Cuando la barra se calienta, su longitud y su diámetro aumentan a razón de 0,04 cm/min y 0,01 cm/min respectivamente. ¿A qué razón aumenta el volumen, V, de la barra en el instante en que su largo es 20 cm y su diámetro 3 cm?
1 Respuesta
Respuesta de Lucas m
1
;)
Hola Anyara Aguirre!
Se el cilindro den radio base r y longitud h:
$$\begin{align}&V= \pi r^2 h=f(r,h)\\&\\&\frac{d(2r)}{dt}=0.001 =2 \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt}= \frac{0.001}{2}=0.005 \ \ cm/min\\&\\&\frac{dh}{dt}=0.04 \ \ cm/min\\&\\&\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}·\frac{dr}{dt}+\frac{dV}{dh}· \frac{dh}{t}=2 \pi r h \frac{dr}{dt}+ \pi r^2 \frac{dh}{dt}=\\&\\&2 \pi r h·0.005+\pi r^2·0.04\\&\\&\\&\frac{dV}{dt} \Bigg |_{h=20;r=1.5}=2 \pi (1.5)(20)(0.005)+ \pi (1.5)^2·0.004=\\&\\&\\&=0.39 \pi=1.225221135 \ \ \ cm^3/min\end{align}$$saludos
;)
;)
;)
Escribí un número mal, pero el cálculo es correcto:
$$\begin{align}&\frac{d(2r)}{dt}=\0.01=2 \frac{dr}{dt}\\&\\&\frac{dr}{dt}=0.005\end{align}$$;)
