¿Cómo encontrar la distancia recorrida de una partícula usando su ecuación vectorial?

;)
Hola Peri Rock!

x=1-cos(2t)

y=2-2sen(2t)

Eso es una circunferencia de centro (1,2)  y radio 1:

$$\begin{align}&x-1=-\cos(2t)\\&y-2=-sen(2t)\\&\\&\\&elevando \ al \ cuadrado \ y \ sumando:\\&\\&(x-1)^2+(y-2)^2=(-\cos(2t))^2+(-sen(2t))^2\\&\\&(x-1)^2+(y-2)^2=\cos^2(2t)+sen^2(2t)=1\end{align}$$

Hay que tener cuidado pues al ser el ángulo doble(2t), recorre la circunferencia dos veces.

En t=0   está en (0,2)

En t=pi  vuelve a estar en (0,2)

en t= 2 pi    vuelve a estar en (0,2)

Luego la longitud recorrida:

L=2(2 pi r)=4 pi

con integrales:

$$\begin{align}&L=2 \int_0^{ \pi} \sqrt{\frac{(dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\ \ dt=\\&\\&=2 \int_0^{\pi}\sqrt{(2sen2t)^2+(-2cos2t)^2}\ \ dt=\\&\\&=2 \int_0^{\pi}2 \sqrt {sen^2t+\cos^2t} \ \ dt=\\&\\&=4 \int_0^{\pi}dt= 4 \ \ t \ \Bigg|_0^{\pi}= 4 \pi\end{align}$$

saludos

;)

;)

Entonces calcular la distancia recorrida , es calcular la longitud de arco?

 Gracias por la respuesta