Recta tangente a una función vectorial y área entre ellas.
Dada la curva r(t)= (e^t; e^2t), con 0<=t<=ln 4.
Determinar la recta tangente a la curva en el punto (2;4) y plantear el área de la región comprendida por la curva r(t), la recta tangente y las rectas x = 1, x=4
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Respuesta de Lucas m
1
;)
Hola Peri Rockz
T(2,4) punto de tangencia
Pendiente:
$$\begin{align}&m=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{2 e^{2t}}{e^t}=2e^t\\&\\&\\&x=2=e^t\\&ln2=t\\&\\&m=2e^{ln2}=2·2=4\\&\\&y=y_0+m(x-x_0)\\&\\&y=4+4(x-2)\\&\\&y=4x-4\\&\\&\end{align}$$Para calcular el área buscamos la función en cartesianas:
$$\begin{align}&y=e^{2t}=(e^t)^2=x^2\\&\\&y=x^2\\&\\&parábola \ cóncava(hacia \ arriba).\\&La \ recta \ tangente \ está \ por \ debajo \ de \ la \ curva:\\&\\&A=\int_1^4 \Big(x^2-(4x-4) \Big)dx=\frac{x^3}{3}-2x^2+4x \Bigg|_1^4=\\&\\&\frac{64}{3}-32+16- \Big(\frac{1}{3}-2+4 \Big)=3 \ \ u^2\end{align}$$Saludos
;)
;)
