Calcule el volumen y el área total de una pirámide

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¡Hola Luis Alberto!

Usaremos la fórmula que dijo Lucas para calcular el área de un triángulo conocidos dos lados y el ángulo que forman. Es una fórmula que se usa en geometría analitica en el espacio cuando se conocen las coordenadas de los puntos cuando calculas el determinante y lo divides por dos. Al fin y al cabo es la mitad del producto vectorial de los lados.

Entonces la base es un triángulo equilátero con lados de 21 y ángulo 60º, su área será:

$$\begin{align}&A_b= \frac 12·21·21·\frac{\sqrt 3}{2}=\frac{441 \sqrt 3}{4}\\&\\&\end{align}$$

Lo que necesitamos conocer es la distancia del centro del triángulo equilátero a los lados para poder usar el teorema de Pitágoras.

Si tomamos un triángulo equilátero y trazamos la bisectriz de dos lados, está pasa por el centro y forma un ángulo de 30º con la base. El punto donde esta bisectriz corte a la altura será el cateto opuesto y 21/2=10.5 será el cateto adyacente. Luego:

$$\begin{align}&tg30º = \frac{\overline{HE}}{\frac {21 }2}\\&\\&\overline{HE} = \frac {21}2 · tg30º = \frac{21}2· \frac 1{\sqrt{3}}= \frac {21}2·\frac{\sqrt{3}}3=\frac 72 \sqrt 3\\&\\&\text{Y ahora aplicando el teorema de pitagoras}\\&\\&\overline {HD}=\sqrt{\overline{HE}^2+18^2}=\sqrt{\frac{49·3}{4}+324}=\frac{\sqrt{1443}}{2}\\&\\&\text{Y el área de cada triangulo lateral es}\\&\\&A_t= \frac{21·\frac{\sqrt{1443}}{2}}{2}= \frac{21 \sqrt{1443}}{4}\\&\\&\text{Luego el área total es:}\\&\\&A=A_b+3A_t=\frac{441 \sqrt 3}{4}+\frac{63 \sqrt{1443}}{4}=\\&\\&\frac{441 \sqrt 3+63 \sqrt{1443}}{4} cm^2\approx 789.2513288cm^2\\&\\&\\&\text{Y el volumen es sencilo}\\&\\&V= \frac 13 A_b·h = \frac 13·\frac{441 \sqrt 3}{4}·18=\frac{1323 \sqrt 3}{2}cm^3\approx\\&\\&1145.751609cm^3\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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Hola Luis Albrerto:

Para calcular el área de un triángulo hay una fórmula muy práctica, llamada la Fórmula Trigonométrica del área del triángulo( la segunda de este enlace) que calcula el área de cualquier triángulo conocidos dos lados :a y b y el ángulo comprendido entre estos dos lados C

Esa fórmula es:

$$\begin{align}&A=\frac{1}{2}a·b·senC\\&\\&\end{align}$$

En el triángulo HBC:

$$\begin{align}&sem60º=\frac{HC}{BC}\\&\\&HC=BC·sen60º=21· \frac{\sqrt 3}{2}\end{align}$$

por la propiedad de la mediana y el baricentro:

$$\begin{align}&HE=\frac{1}{3}HC=\frac{7 \sqrt 3}{2}\\&\\&Pitágoras:\\&HD^2=HE^2+ED^2\\&\\&=\frac{49·3}{4}+18^2=\frac{1443}{4}\\&\\&HD=\frac{\sqrt{1443}}{2}\\&\\&A_{trianglateral}=\frac{1}{2}21·\frac{\sqrt {1443}}{2}=\frac{21 \sqrt{1443}}{4}\\&\\&A_{triangbase}=Fórmula \ Trigonométrica=\frac{1}{2}21·21 sen60º=\frac{441 \sqrt 3}{2}\\&\\&A_T=3 \frac{21 \sqrt{1443}}{4}+\frac{441 \sqrt 3}{2}=789.251 \ cm^2\\&\\&V=\frac{1}{3}S_b·H=\frac{1}{3}\frac{441 \sqrt 3}{2}·18=1145.75 \ cm^3\end{align}$$

saludos

;)

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