Demostrar que la siguiente ecuacion es una elipse y determinar centro, focos y vertices

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¡Hola Fabiancho!

Debes valorar esta pregunta antigua, si no ya no contestaré más preguntas tuyas.

Demostrar que la ecuación representa una hipérbola y Determine centro, focos y vértices

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Respecto a esta:

Veremos si podemos transformar esa ecuación en la ecuación canónica de una elipse. Y esa ecuación canónica nos dará la información para poder calcular lo que nos piden.

Hay dos ecuaciones canónicas posibles para las elipses que son bien horizontales o bien verticales.

$$\begin{align}&\text{Para las horizontales}\\&\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\\&\\&\text{Para las verticales}\\&\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1\\&\\&\text{(h,k) es el centro}\\&a\text{ es el semieje mayor}\\&b\text{ es el semieje menor}\\&\\&4x^2+9y^2+24x+36y=0\\&\\&\text{agrupamos términos en x y y,}\\&\text{y sacamos factor común en cada caso}\\&\\&4(x^2+6x)+9(y^2+4y)=0\\&\\&\text{Debemos crear en un binomio}\\&(x+d)^2\\&\text{que absorva los términos de x, }\\&\text{y lo que sobre } (d^2)\text{ habrá que restarselo}\\&\text{Se hace lo mismo con y.  Este proceso se llama}\\&\text{completar cuadrados.}\\&\\&4\left((x+3)^2-3^2  \right)+9\left((y+2)^2-2^2  \right)=0\\&\\&4(x+3)^2-36+9(y+2)^2-36=0\\&\\&4(x+3)^2+9(y+2)^2=72\\&\\&\frac{4(x+3)^2}{72}+\frac{9(y+2)^2}{72}=1\\&\\&\frac{(x+3)^2}{18}+\frac{(y+2)^2}{8}=1\\&\\&\frac{(x+3)^2}{(\sqrt{18})^2}+ \frac{(y+2)^2}{(\sqrt 8)^2}=1\\&\\&\text{Luego tiene la ecuación canónica de una}\\&\text{elipse horizontal, los focos están en horizontal}\\&\\&1) Centro = (-3, -2)\\&\\&2) \text{La semidistancia focal es}\\&c=\sqrt{a^2-b^2}= \sqrt{18-8}= \sqrt{10}\\&\text{Restamos y añadimos esta distancia al centro}\\&\text{en horizontal}\\&F_1=(-3- \sqrt{10},-2)\\&F_2=(-3+\sqrt{10},-2)\\&\\&\text{3) Los vértices se obtinenen sumando al centro}\\&\text{las semidistancias focales adecuadamente}\\&\text{Para el eje transversal se suma a en la orientación}\\&\text{que tenga, horizontal en este caso}\\&V_1=(-3-\sqrt{18},-2)\\&V_2=(-3+\sqrt{18},-2)\\&\text{Y para los del otro eje se suma b en su orientación}\\&\text{vertical en este caso}\\&V_3=(-3, -2- \sqrt 8)\\&V_4=(-3, -2+\sqrt 8)\end{align}$$

Es muy probable que haya puesto la numeración de focos y vértices distinto de la que usáis, si es así la cambias.

Sa lu dos.

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