Representación en series y polinomio de Taylor

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Hola Victor!

Las derivadas sucesivas del coseno son:

Saludos

;)

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·

'

¡Hola Víctor!

Para obtener la serie de Taylor debemos conocer el valor de la función y las derivadas en el punto alrededor del cual se calcula la serie.

Tenemos

f(x) = cosx ==> f(0) = 1

f'(x)=-senx ==>f'(0) = 0

f''(x) = -cosx ==> f''(0) = -1

f'''(x) = senx ==> f'''(0) = 0

f''''(x) = cosx ==> f''''(0) = 1

Y ya hemos vuelto al valor inicial y se va repitiendo el ciclo, hay un cero cada dos términos y los otros alternan los valores 1 y -1

La fórmula de Taylor en el punto x=0 también llamada de McLaurin es:

$$\begin{align}&f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\\&\\&\text{Para el coseno es}\\&\\&\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+ \frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+....\\&\\&\text{que podemos poner compactado como}\\&\\&\cos x= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n}\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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