Encontrar una base ortonormal (Álgebra Lineal)
El enunciado dice exactamente así: Sea V el espacio P_2, con el producto interno
$$\begin{align}&(f,g)=\int_{9}^{1}f(t)g(t)dt\end{align}$$Encontrar una base del subespacio W, ortogonal a h(t) = 2t + 1.
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Espero se me pueda ayudar. Si realmente es complicado, con los pasos a realizar es suficiente, yo puedo hacerlos. Lo que pasa es que estoy confundido de quién es W.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Mario!
Si un vector es ortogonal a h(t)=2t+1 entonces el producto escalar de los dos será cero, luego vamos a averiguar cuales son los vectores ortogonales a h(t) igualando a 0 el producto escalar de un polinomio genérico con h(t).
$$\begin{align}&Sea\; p(t)=(at^2+bt+c) \perp h(t)=2t+1\implies\\&\\&\text {en la integral has puesto límite inferior 9, seguramente}\\&\text{que es 0, es lo habitual}\\&\\&\int_0^1\left[(at^2+bt+c)(2t+1) \right]dt=\\&\\&\int_0^1(2at^3+2bt^2+2ct+at^2+bt+c) dt=\\&\\&\int_0^1[2at^3+(2b+a)t^2+(2c+b)t+c]dt\\&\\&\left[ \frac {at^4}2+\frac{(2b+a)t^3}{3}+\frac{(2c+b)t^2}{2}+ct \right]_0^1=\\&\\&\frac a2+\frac{2b+a}{3}+\frac{2c+b}{2}+c=\\&\\&\frac{3a+4b+2a+6c+3b+6c}{6}=\\&\\&\frac{5a+7b+12c}{6}=0\\&\\&5a+7b+12c=0\\&\\&\text{Esa es la condición que deben cumplir los polinomios}\\&\\&\text{Tomemos uno con a=12 y b=0}\\&5·12 +12c=0\\&c=-5\\&\text{Luego es } \\&b_1(t)=12t^2 -5\\&\\&\text{Y ahora tomemos uno con a=0 y b=12}\\&7·12+12c=0\\&c=-7\\&\text{Luego es }\\&b_2(t)=12t-7\\&\\&\text{Asi que la base es}\\&\\&B=\left\{12t^2-5, \;12t-7 \right\}\\&\\&\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo, repasa las cuentas por si me equivoqué.
Sa lu dos.
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