Estudiar la convergencia absoluta, condicional o divergencia.
Determine si la serie converge absolutamente, condicionalmente o diverge.
$$\begin{align}&\sum((n+3)!/n^n)\end{align}$$
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
·
·
¡Hola Monse483!
Es una serie de términos positivos, luego es la misma tomando que sin tomar valores absolutos, por lo tanto la serie convergerá absolutamente o será divergente, no será condicionalmente convergente.
Creo que tendremos que usar la fórmula de Stirling.
$$\begin{align}&n!\approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\\&\\&\text{Y usamos el criterio de la raíz enésima}\\&\\&\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{(n+3)!}{n^n}}=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{\sqrt{2\pi(n+3)}\left(\frac{n+3}{e}\right)^{n+3}}{n^n}}=\\&\\&\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n+3}{e}}{n} \sqrt[n]{\sqrt{2\pi(n+3)}\left(\frac{n+3}{e}\right)^{3}}=\\&\\&\lim_{n\to\infty} \frac{n+3}{n\,e} \sqrt[n]{\sqrt{2\pi(n+3)}\left(\frac{n+3}{e}\right)^{3}}=\\&\\&\frac 1e \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\sqrt{2\pi(n+3)}\left(\frac{n+3}{e}\right)^{3}}\\&\\&\text{Esto se calcula por límites logaritmicos.}\\&\\&\text{Sea L}=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\sqrt{2\pi(n+3)}\left(\frac{n+3}{e}\right)^{3}}\\&\\&ln\,L= ln\left(\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\sqrt{2\pi(n+3)}\left(\frac{n+3}{e}\right)^{3}} \right)=\\&\\&\lim_{n\to\infty}ln \left( \sqrt[n]{\sqrt{2\pi(n+3)}\left(\frac{n+3}{e}\right)^{3}} \right)=\\&\\&\lim_{n\to\infty} \frac 1n ln\left(\sqrt{2\pi(n+3)}\left(\frac{n+3}{e}\right)^{3} \right)=\\&\\&\lim_{n\to\infty} \frac 1n \left(\frac 12ln(2\pi)+\frac 12 ln(n+3)+3ln(n+3)-3ln\,e \right)=\\&\\&\lim_{n\to\infty}\left(\frac{ln(2\pi)}{2n}+\frac{ln(n+3)}{2n}+\frac{3\,ln(n+3)}{n}-\frac 3n \right)=\\&\\&0+0+0-0=0\\&\\&\text{Luego}\\&\\&ln\,L=0\\&\\&L=1\\&\\&\text{Y el límite de todo es}\\&\\&\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{(n+3)!}{n^n}}=\frac 1e·1= \frac 1e\lt1\end{align}$$Como el límite es menor que 1 la serie es absolutamente convergente.
Y eso es todo, sa lu dos.
:
:
