Probar que si x e y son coprimos, entonces ( x +2z, 2x +z) = 1 o 3

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¡Hola Vale!

Imagino que quieres decir que son coprimos x y z, porque "y" no pinta nada.

Por la propiedad

(a, b) = (a, b-a)

(x+2z, 2x+z) = (x+2z, x-z) =

que también sirve la propiedad

(a, b) = (a-b, b)

luego

= (3z, x-z)

Como x y z son coprimos entonces x-z no puede tener ningún factor primo de z ya que si tuviera uno, llamémoslo p, tendríamos

(x-z) / p = n     con n número entero

x/p -  z/p = n

x/p - m = n   con m entero

x/p = m+n

luego p factor primo de x.

Luego p es factor primo de x y z, eso es absurdo ya que eran coprimos.

Luego tenemos que el máximo común divisor que nos dieron es igual que este

(3z, x-z)

Y que ningún factor primo de x-z lo es de z, luego el único factor primo común que pueden tener si acaso es 3. Por lo tanto, el máximo común divisor será 1 ó 3.

Y eso es todo, saludos.

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