Apoyo con el problema de Malthus
¿Qué hacer?
1. Introducción. Lee atentamente para conocer la relación de la la aplicación del modelo de Thomas Malthus, economista inglés en 1798, y el uso de la antiderivada.
En esencia, la idea de este modelo matemático de Malthus es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población sin freno de un país crece en forma proporcional y constante P(t), de ese país en cualquier momento (t en años). En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más personas en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar:
Donde el símbolo ∝ (alfa) indica que ambas cantidades son proporcionales y k es esa constante de proporcionalidad. Este modelo no tiene en cuenta otros factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, pero predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial anterior aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos.
Como se mencionó una de las aplicaciones principales de la antiderivada es la solución de ecuaciones diferenciales, si nos planteamos la ecuación anterior P' (t) = kP (t) podemos ponerla en la forma de diferencial, teniendo la ecuación:
dP = kP (t) dt
Para profundizar en el principio de población de Malthus puedes estudiar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=2nWSW3SA-no
Ahora como la P es la variable dependiente podemos pensarla como solo y = P(t), de esta manera dP = dy y acomodando la ecuación anterior en términos de y nos resulta:
dy = kydt
Tenemos una igualdad entre dos diferenciales, para que cada lado tenga las mismas variables pasamos la y del lado derecho al lado izquierdo:
En este punto la ecuación está en forma de diferenciales y cada uno de los lados de la igualdad está en términos de una sola variable, para obtener las respectivas funciones que tienen esos diferenciales es necesario obtener su antiderivada. Integra las funciones en cada lado de la igualdad para hallar la solución de la ecuación diferencial, no olvides la constante de integración, será muy importante, es decir, calcula:
Una vez que tengas las respectivas antiderivadas en la identidad despeja la variable y para que sea una función en términos de t, debes recordar las propiedades de las funciones necesarias. Tu proceso debe conducir a esta ecuación que es el modelo de Malthus:
Donde la variable y representa la tasa de crecimiento de la población.
2. Desarrollo. Con la aplicación de la antiderivada del modelo de Malthus ahora sigue el planteamiento y resuelve lo que se indica.
Suponiendo que la población inicial que se está considerando es de 100 individuos determina el valor de C. Si tenemos que k=0.5, y con la ecuación se estima el tamaño de la población dentro de 10 años. Bosqueja una gráfica a mano.
Para su presentación, expón todo el proceso en un archivo de procesador de textos e inserta la imagen de la gráfica.
3 Respuestas
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¡Hola Angy!
Bueno, esto parece más una clase de teoría que un ejercicio. En resumen ya te han resuelto la ecuación diferencial y te dan la función de la población
y = Ce^(kt)
O puesto de otra forma
P(t) = Ce^(kt)
2) Entonces te preguntan que calcules C si la población inicial es de 100.
La población inicial es la que hay cuando t = 0
Luego sustituyendo
P(0) = 100 = Ce^(0·t) = C·e^0 = C·1 = C
resumiendo
C=100
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Ahora nos dicen que k=0.5 y nos piden la población dentro de 10 años. Pues sustituimos t=10 y k=0.5 en la función y tendremos:
P(10) = 100·e^(0.5 · 10) = 100·e^5 = 100 · 148.4131591 = 14841.31591 habitantes
redondearemos a 14841 si nos piden un número entero.
Para la gráfica a mano podemos usar que la función exponencial tiende a 0 en menos infinito, que para t=0 vale 100 ya que 100·e^0=100 y podemos usar el valor que hemos obtenido para t =10, aunque es un valor tan alto que no cabrá, y si hacemos que quepa entonces habrá que disminuir mucho el tamaño del eje Y. Luego no sé si decirte que lo hagas con ese punto o que lo hagas con puntos mas cercanos como 2 y 3 calculando el valor en ellos
P(2) = 100·e^(0.5 · 2) = 100e = 271.8281828
P(3) = 100·e^(0.5 · 3) = 100^·e^(1.5) = 448.1689
P(4) = 100· e^(0.5 · 4) = 100·e^2 = 738.9056
Y así tu calcularías los puntos que quisieras para ayudarte a hacer la gráfica a mano.
Y hecho con el programa Geogebra es:
Con este enlace a la gráfica: Población hasta 5
O si queremos hasta los 10 años tiene que ser así:
Y el enlace a la gráfica es este: Población hasta 10
Y eso es todo, sa lu dos.
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Precisamente esta gráfica si que se puede hacer bien con Excel al contrario de las que mandaban en otro ejercicio.
La fórmula que debéis poner en la celda B2 es:
=100*exp(0,5*t)
a lo mejor en Mexico debe ser con el punto, no lo sé
=100*exp(0.5*t)
Y luego copiar esa celda en el resto de la columna B.
El tipo de gráfico es de dispersión con líneas suavizadas y marcadores. En fin, teníais un vídeo donde explicaban como se hacía eso.
Y en este enlace podéis descargar la hoja: Hoja Excel Gráfica Población
Y eso es todo de momento.
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Por si a alguno le mandé aquí. El problema nuevo con población inicial de 150 está aquí: Población Malthus nuevo con 150
Y eso es todo.
Profesor Valero no se que haría sin usted muchas gracias - andrea vazquez
Muchas gracias por su gran ayuda!! - Ernesto López González