¿Cómo calculo el máximo y mínimo de estas dos funciones?
Tengo unas dudas recién iniciando clases, con unos ejercicios de derivadas. Más que la respuesta, me gustaría el procedimiento que se debe llevar a acabo en las siguientes funciones para hallar el máximo y mínimo (puntos críticos). Según nuestro profesor, se debe derivar, pero no comprendo de que manera se pueden hallar los puntos críticos cuando hay incógnitas con exponentes mayores a 2.
a) f(x) = X^4 - 8X^2 + 3
b) f(x) = 4 + 15X + 6X^2 - X^3
1 Respuesta
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¡Hola Hector!
En realidad el problema vendría con exponentes cuatro o mayores, ya que la derivada rebaja un orden y quedaría una ecuación de orden una ecuación de orden tres o más. Pero aunque sea de orden 3 o más, hay veces que no tiene dificultad calcular las raíces.
$$\begin{align}&a)\quad f(x) = x^4 - 8x^2 + 3\\&\\&\text{derivo e igualo a 0}\\&\\&f'(x)= 4x^3-16x=0\\&\\&x(4x^2-16)=0\\&\\&x_1=0\\&\\&4x^2-16=0\\&4x^2=16\\&x^2=4\\&\\&x_2=-2\\&x_3=2\\&\\&\text{Calculamos la derivada segunda}\\&\\&f''(x)=12x^2-16\\&\\&f''(-2)=12·4-16 = 32\gt0\implies mínimo\\&f''(0)=0-16=-16\lt 0 \implies máximo\\&f''(2)=12·4-16=32\gt 0\implies mínimo\\&\\&\text{Si necesitas los valores de la función te dejo calcularlos}\\&\\&\\&b)\quad f(x)=4+15x+6x^2-x^3\\&\\&f'(x)=15+12x-3x^2=0\\&\\&\text{Simplificando, reordenando y cambiando signo}\\&\\&x^2-4x-5=0\\&\\&x=\frac{4\pm \sqrt{15+20}}{2}= \frac{4\pm6}{2}\\&\\&x_1=-1\\&x_2=5\\&\\&\text{calculamos la derivada segunda}\\&\\&f''(x)=12-6x\\&\\&f''(-1)= 12+6 = 18\gt 0\implies mínimo\\&f''(5)=12-30=-18\lt 0 \implies máximo\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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¡Gracias! Eso era lo que necesitaba.
Saludos, HLB
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Saludos.
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