Volumen del sólido formado por las paredes del primer octante
calcula el volumen del solido formado por las paredes del primer octante (sistema cartesiano xyz) con el cilindro x^2 + y^2 = 4 y e plano y + z= 3
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Víctor!
El primer octante es donde x, y, z son todos positivos.
El dominio de integración es por lo tanto el primer cuadrante de ese circulo de radio 2.
Si hacemos que sea la x la que toma valores fijos entre 0 y 2 tendremos
$$\begin{align}&V=\int_0^2\int_0^{\sqrt{4-x^2}}(3-y)\;dy\,dx=\\&\\&\int_0^2 \left[3y-\frac {y^2}2\right]_0^{\sqrt {4-x^2}} dx=\\&\\&\int_{0}^2\left(3 \sqrt{4-x^2}-\frac{4-x^2}{2} \right)dx=\\&\\&\left[-2x+\frac{x^3}{6}\right]_0^2+3\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\;dx=\\&\\&-4+\frac 86+3\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\;dx=\\&\\&x=2sent\implies t=arcsen \frac x2\\&dx= 2cost\;dt\\&x=0\implies t=0\\&x=2\implies t=arcsen\, 1\\&\\&=-\frac 83+3\int_0^{arcsen\,1} \sqrt{4-4cos^2t}·2 \cos t\;dt=\\&\\&-\frac 83+12\int_0^{arcsen\,1} \cos^2t\;dt=\\&\\&-\frac 83+12\int_0^{arcsen\;1}\left(\frac 12+\frac{\cos \,2t}{2} \right)dt=\\&\\&-\frac 83+\bigg[6t+3sen 2t\bigg]_0^{arcsen\,1}=\\&\\&-\frac 83+6\, arcsen\,1+3 sen(2\,arcsen\,1)=\\&\\&-\frac 83+6·\frac{\pi}2+3 ·2sen\,\pi=\\&\\&-\frac 83+3\pi\approx6.758111294\end{align}$$Y eso es todo, espero lo entiendas.
Sa lu dos.
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