Como calculo estas integrales y su notación sigma

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¡Hola JB Tech!

No se pueden mandar tantos ejercicios en la misma pregunta, haré los dos primeros.

$$\begin{align}&\int_0^1 (x^3-3x^2+3 \sqrt x)dx=\\&\\&\int_0^1\left(x^3-3x^2+3x^{\frac 12}\right)dx=\\&\\&\left[ \frac{x^4}{4}-x^3+3·\frac{x^{\frac 32}}{\frac 32} \right]_0^1=\\&\\&\left[ \frac{x^4}{4}-x^3+2x^{\frac 32} \right]_0^1=\\&\\&\frac 14-1+2= \frac 54\\&\\&\\&2) \int_2^8x(2x^2-3)^{\frac 13}dx=\\&\\&t=2x^2-3\\&dt=4x\;dx\implies x\;dx=\frac 14 dt\\&x=2\implies t=2·2^2-3=5\\&x=8\implies t=2·8^2-3=125\\&\\&=\int_5^{125} \frac 14·t^{\frac 13}dt=\\&\\&\left.\frac 14·\frac{t^{\frac 43}}{\frac 43}\right|_5^{125}=\frac 3{16}t^{\frac 43}\bigg|_5^{125}= \frac 3{16}\left(125^{\frac 43}-5^{\frac 43}\right)=\\&\\& \frac 3{16}\left((5^3)^{\frac 43}-5^{\frac 43}\right)=\frac{3}{16}(5^4-5 \sqrt[3] 5)=\\&\\&\frac{3}{16}(625-5 \sqrt[3] 5)= \frac{1875-15 \sqrt[3]5}{16}\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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Intentaré hacer los otros 2

$$\begin{align}&3) \sum_{i=1}^n(3^i-3^{i-1})\\&\text{Dos cosas:}\\&\text{a) Cambié la parte inferior de la sumatoria, porque lo que estaba escrito no tenía sentido}\\&\text{b) Como está escrita de manera general, voy a escribir algunos casos para ver si podemos deducir algo}\\&Si\ n=1 \to \sum_{i=1}^1(3^i-3^{i-1})=(3^1-3^0) = 3-1 = 2\\&Si\ n=2 \to \sum_{i=1}^2(3^i-3^{i-1})=(3^1-3^0) +(3^2-3^1)= 3^2-3^0 = 8\\&Si\ n=3 \to \sum_{i=1}^3(3^i-3^{i-1})=(3^1-3^0) +(3^2-3^1)+(3^3-3^2)= 3^3-3^0 = 26\\&\text{La expresión resuelta no dice mucho, pero vemos que se eliminan todos los términos "del medio"}\\&\text{y solo sobreviven el primero y el último, por lo tanto tenemos que:}\\& \sum_{i=1}^n(3^i-3^{i-1})=3^n-1\\&3) \sum_{i=1}^6(2-i)\\&\text{Nuevamente cambié la parte inferior de la sumatoria:}\\&\sum_{i=1}^6(2-i)=(2-1)+(2-2)+(2-3)+(2-4)+(2-5)+(2-6) = 1+0+(-1)+(-2)+(-3)+(-4)=-9\end{align}$$

Salu2

;)
Yo te haré los dos últimos

Y recuerda votar a todos los expertos:

5.-

$$\begin{align}&a)\\&\\&\sum_{i=2}^{78} \frac{1}{i}\\&\\&b)\\&\\&\sum_{i=1}^{50} i·x^{2i}\\&\\&6)\\&Teorema \ Fundamental \ del \ Cálculo:\\&\\&\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)dt=f(b)·b'(x)-f(a)·a'(x)\\&\\&G'(x)= \frac{1}{(x^3)^2+1}3x^2-\frac{1}{x^2+1}·1=\frac{3x^2}{x^6+1}- \frac{1}{x^2+1}\end{align}$$

Saludos

;)

;)