Cómo apoyo la respuesta a un ejemplo social o natural

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¡Hola Gaby!

Sea una máquina que has comprado para hacer cualquier objeto por ejemplo bufandas. La máquina funciona a pleno rendimiento al principio pero con el tiempo funciona peor, necesita más reparaciones y llega un momento en que origina más gastos que los beneficios que produce. La funciones que definen el funcionamiento son estas.

Ingresos en el tiempo

B(t) = (255/32) - (1/8)t^2

Vienen medidos en millones de pesos por año

Y los gastos en el tiempo

G(t) = (1/8)t

¿Hasta cuándo conviene tener la máquina y cuánto beneficio habrá producido?

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Como decía habrá que arrinconarla cuando los gastos sean mayores que los ingresos. Nada más pensar un poco en las funciones vemos que los ingreso empiezan en (255/32) millones cerca de 8 millones y van descediendo mientras que los gastos empiezan en 0 y son crecientes, habrá un momento donde sean iguales y a partir de ahí hay que parar porque los gastos se hacen mayores.

Igualando ingresos y gastos tendremos el momento ese

(1/8)t = (255/32) - (1/8)t^2

(1/8)t^2 + (1/8)t - (255/32) = 0

mltiplico por 8 para que sean números mejores

t^2 + t - 255/4 = 0

y resuelvo la ecuación

$$\begin{align}&t= \frac{-1 \pm \sqrt{1+255}}{2}=\frac{-1\pm16}{2}=7.5 \,años\\&\\&\text{la respuesta negativa no tiene sentido aquí}\\&\\&\text{Luego a los 7años y medio hay que dejarla}\\&\\&\text{Y el beneficio será la integral de los beneficios}\\&\text{anuales entre 0 y 7.5}\\&\\&B=\int_{0}^{7.5}\left(\frac{255}{32}-\frac 18 t^2-\frac 18 t\right)dt=\\&\\&\left[\frac {255t}{32}- \frac{t^3}{24}-\frac{t^2}{16}  \right]_0^{7.5}=\\&\\&\frac {255·7.5}{32}- \frac{7.5^3}{24}-\frac{7.5^2}{16}=\\&\\&59.765625-7.578125 - 3.515625=\\&\\&48.671875 \text{ millones de pesos}=\\&\\&$\;48\;671\,875\\&\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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