Tomando en cuenta la siguiente gráfica

Hay varias formas de plantear la ecuación de una recta, una de ellas es:

$$\begin{align}&\frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\\&\text{Que me gusta por su simetría, veamos las ecuaciones para cada recta con esto en mente}\\&r_1: \frac{y-3}{0-3}=\frac{x-0}{2-0} \to y = -\frac{3}{2}x+3\\&r_2: \frac{y-4}{0-4}=\frac{x-0}{4-0} \to y = -x+4\\&r_3: \frac{y-0}{3-0}=\frac{x-(-2)}{0-(-2)} \to y = \frac{3}{2}x+3\\&\text{Región I, vemos que es un triángulo que tiene de base 4 (2 - (-2)) y de altura 3}\\&Area_{regiónI} = \frac{b\cdot h}{2} = \frac{4\cdot 3}{2} = 6\\&\text{Región II + I, la base es 6 (4 - (-2)) y para la altura tengo que hallar la intersección entre las rectas }r_2 \ y \ r_3\\&r_2: y = -x+4\\&r_3: y = \frac{3}{2}x+3\\&Igualando\\&-x+4 = \frac{3}{2}x+3 \to x=\frac{2}{5} = 0.4\\&Reemplazo\ en\ r_2: y = -0.4 + 4 = 3.6 \text{...(Valor buscado)}\\&Area_{regiónI+regiónII} = \frac{b\cdot h}{2} = \frac{6\cdot 3.6}{2} = 10.8\\&\text{Por lo tanto la región II es}\\&Region \ II = 10.8 - 6 = 4.8\end{align}$$

Salu2

$$\begin{align}&m=\frac{0-4}{4-0}=-1\\&\\&r2:\\&y=-x+4\\&\\&r3:\\&b=3\\&(-2,0) \ \ \ (0,3)\\&\\&m=\frac{3-0}{0-(-2))}=\frac{3}{2}\\&\\& y=\frac{3}{2}x+3\\&\end{align}$$

;)
Hola victor aviles!

Las ecuaciones de esas tres rectas se pueden calcular directamente si tienes claro lo que es la pendiente (m) y la ordenada en el origen(b) de una recta (y=mx+b)

La b es donde corta la recta con el eje Y. La pendiente (m) es lo que sube o baja (y) la recta por cada unidad de x.

Así r1:

b=3  (donde corta eje Y)

La pendiente es negativa ya que decrece, si miran de izquierda a derecha. Además observa

Que en dos unidades de x desciende tres unidades de y, luego la pendiente es -3/2

También puedes calcularla a partir de dos puntos cualesquiera de la recta, por ejemplo

(0,3) y (2,0) con la fórmula:

$$\begin{align}&m =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{0-3}{2-0}=- \frac{3}{2}\\&\\&r_1:  \ \ y=- \frac{3}{2}x+3\end{align}$$

r2:   b=4  (corte con el eje Y)

Observa que es decreciente, luego la pendiente será negativa. Y observa que en cuatro unidades de x, descendió 4 unidades, luego pendiente es -1

o con los puntos (0,4) y (4,0)

La zona I, es un triángulo de base 4 y altura 3, luego

$$\begin{align}&A_{triangAzul}=\frac{1}{2}·4·3=6\ \ \ cm^2\end{align}$$

Para calcular la zona II (amarilla) calcularemos primero el área del triángulo grande, y le restaremos el azul.

El triángulo grande tiene de base 6, pero la altura se ha de calcular a partir del punto de corte de las rectas 3 y 2:

$$\begin{align}&r_3\\&y= \frac{3}{2}x+3\\&\\&r_2\\&y=-x+4\end{align}$$

resolviendo el sistema por igualación:

$$\begin{align}&\frac{3}{2}x+3=-x+4\\&\\&multiplicándola º por \ 2:\\&\\&3x+6=-2x+8\\&\\&3x+2x=8-6\\&\\&5x=2\\&x=\frac{2}{5} \\&y=-\frac{2}{5}+4=\frac{18}{5} \ \ esta \ es \ la \ \ altura \ \ triángulo \ grande\\&\\&A_{TG}=\frac{1}{2}·6·\frac{18}{5}=\frac{54}{5} \ cm^2\\&\\&A_{zonaII}=A_{TG}-A_{Tazul}=\frac{54}{5}-6=\frac{24}{5} =4.8 \ cm^2\end{align}$$

saludos

;)

;)

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¡Hola Víctor!

En este caso lo más sencillo para calcular las ecuaciones será con la pendiente y el corte con el eje Y

y = mx + b

M es la pendiente de la recta

B es el punto de corte de la recta con el eje Y

Las rectas son:

1) La de izquierda, pasa por (-2, 0) y (0, 3)

La pendiente es

m = (3-0) / (0-(-2)) = 3/2

Y el corte con el eje Y es 3, luego la ecuación es:

y = (3/2)x + 3

2) La de menos a la derecha es simétrica a la primera, pasa por

(2, 0) y (0,3)

la pendiente es 

m=(3-0) / (0-2) = -3/2

y el corte con el eje Y es 3, luego la recta es:

y= -(3/2)x + 3

3) La de más a la derecha, pasa por (4,0) y (0,4)

La pendiente es:

m=(4-0) / (0-4) = -4/4 = -1

y el corte con el eje y es 4, luego la ecuación es:

y = - x +4

El área I es la del triángulo azul es base por altura dividido por 2

A = 4·3/2 = 12/2 = 6

Y el área II es la del triángulo mayor menos la del azul.

Debemos conocer la altura, eso será la coordenada y del punto de intersección de las rectas

y = (3/2)x + 3

y = -x + 4

luego

(3/2)x + 3 = -x +4

multiplico todo por 2

3x + 6 = -2x + 8

5x = 2

x= 2/5

y = - 2/5 + 4 = = 18 / 5 = 3.6

Luego el área del  triángulo grande es:
6 · 3.6 / 2 = 10.8

Y por lo tanto el área II es

A = 10.8 - 6 = 4.8

Y eso es todo, saludos.

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