En un cuadrado de lado 3 se cortan triángulos rectángulos isósceles en cada una de sus cuatro esquinas, de tal manera

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Hola Panké Pünke Leal!

Un triángulo rectángulo isósceles es el que tiene los dos catetos iguales. La situación es la siguiente:

Se  LM =3 lado del cuadrado

BM=x  catetos del triángulo rectángulo que recortamos

AB=3-2x  lado del octógono regular

AB=BC=3-2x

Aplicando Pitágoras al triángulo rectángulo:

$$\begin{align}&(3-2x)^2=x^2+x^2\\&\\&9-12x+4x^2=2x^2\\&\\&2x^2-12x+9=0\\&\\&x=\frac{12 \ \pm \sqrt {12^2-4·2·9}}{2·2}=\frac{12 \pm \sqrt {72}}{4}=\frac{12 \pm 6 \sqrt 2}{4}=\\&\\&x_1=\frac{6 + 3 \sqrt 2}{2} \simeq5,12 \rightarrow 2x=10.24 >3  \ (no \ puede \ ser)\\&\\&x_2=\frac{6 - 3 \sqrt 2}{2}\simeq0.87 \rightarrow 2x=1,757<3  (Si\ es)\\&\\&Area_{octag}=A{cuad}-4 A_{triang}=\\&\\&3^2-4·\frac{1}{2}\frac{6 - 3 \sqrt 2}{2}·\frac{6 - 3 \sqrt 2}{2}=9- \frac{1}{2} \Big(6-3 \sqrt 2 \Big)^2=\\&\\&9- \frac{1}{2} (36+16-36 \sqrt 2)=9 -\frac{1}{2}( 54-36 \sqrt 2)=\\&\\&=9-27+18 \sqrt 2 \\&\\&=-18+18 \sqrt 2 \ \ cm^2\\&(c.q.d.)\end{align}$$

c.q.d. (como quería demostrar)

Saludos

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Recuerda que en un triángulo rectángulo los catetos pueden hacer de base y de altura, que además aquí son iguales

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