Como se representan las series y polinomios de Taylor.

Estos ejercicios son bastante extensos, por lo que te dejo el primero y espera que otro experto te haga el otro, o haz una nueva pregunta al respecto:

$$\begin{align}&\text{Primero vamos a calcular unas cuantas derivadas, para ver la forma que tienen:}\\&(cosx)' = -sinx\\&(cosx)''=(-sinx)' = -cosx\\&(cosx)''' = (-cosx)' = sinx\\&(cosx)^{iv} = (sinx)' = cosx\\&\text{y a partir de este punto volvemos a empezar}\\&\text{Como el punto en cuestión es x=0, sabemos que:}\\&\cos(0) = 1, \sin(0) = 0 \text{...por lo tanto vemos que se anulan los términos de las derivadas del seno (las de orden impar) y las de orden par van cambiando de signo alternadamente}\\&\text{Término general (para x=0)}\\&P(x) = f(0) + \frac{f'(0)x}{1!}+ \frac{f''(0)x^2}{2!}+ \frac{f'''(0)x^3}{3!}+ ...= \sum_{i=0}^n \frac{f^i(0)x^i}{i!}\\&\text{si consideramos que la función la podemos escribir como:} f(x)= f^{0}(x)\\&{En particular, ya vimos que tenemos muchos términos que se anulan y otros que van cambiando entre 1 y -1, por lo que tendríamos}\\&P(x) = \cos(0) + \frac{-\sin(0)x}{1!}+ \frac{-\cos(0)x^2}{2!}+ \frac{\sin(0)x^3}{3!}+ \frac{\cos(0)x^4}{4!}+ ...\\&\text{En particular, ya vimos que tenemos muchos términos que se anulan y otros que van cambiando entre 1 y -1, por lo que tendríamos}\\&P(x) = 1 - \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6}+ ...=\sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^{i}x^{2i}}{(2i)!}\end{align}$$

Salu2

;)
Hola JB Tch!
Calculemos algunas derivadas

$$\begin{align}&y=log(x) \rightarrow y(1)=0\\&\\&y'(x)=x^{-1} \rightarrow y'(1)=1\\&\\&y''(x)=-1x^{-2} \rightarrow y''(1)=-1\\&\\&y'''(x)=2x^{-3} \rightarrow y'''(1)=2\\&\\&y^{iv}(x)=-6x^{-4} \rightarrow y^{iv}(1)=-6\\&\\&..............\\&\\&T(1)=f(1)+f'(1)(x-1)+f''(1)\frac{(x-1)^2}{2!}+f'''(1)\frac{(x-1)^3}{3!}+·····\\&\\&=0+1(x-1)-\frac{x-1}{2!}+2 \frac{(x-1)^2}{3!}-6 \frac{(x-1)^4}{4!}+·····\\&\\&=(x-1)- \frac{x-1}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-\frac{(x-1)^4}{4}+·······\\&\\&= \sum_{k=1}^n (-1)^{n+1} \frac{(x-1)^k}{k}\end{align}$$

saludos

;)

;)