Ecuaciones diferenciales, con condición inicial.
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, con su solución particular (de acuerdo a condición inicial) y con su solución general en términos de "x" (despejando y).
$$\begin{align}&a) \frac {dy}{dx}=x^2y^2 \\&\\&\end{align}$$sujeta a la condición inicial y(0)=1
$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=-y\end{align}$$sujeta a la condición inicial y(0)=3
$$\begin{align}&y^2+x^2\frac{dy}{dx}=0\end{align}$$sujeta a la condición inicial y(0)=0
$$\begin{align}&3ydx-xdy=0\end{align}$$sujeta a la condición inicial y(1)=2
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Respuesta de Lucas m
2
,)
Hola Mauricio!
Son de variables separables
a)
$$\begin{align}&\frac{dy}{y^2}=x^2dx\\&\\&\int \frac{dy}{y^2}=\int x^2dx\\&\\&\frac{y^{-2+1}}{-2+1}=\frac{x^3}{3}+C\\&\\&\frac{y^-1}{-1}=\frac{x^3}{3}+C\\&\\&\frac{-1}{y}=\frac{x^3}{3}+C\\&\\&y(0)=1\\&\\&\frac{-1}{1}=0+C\\&C=-1\\&\\&\frac{-1}{y}=\frac{x^3}{3}-1\\&\\&\frac{1}{y}=1-\frac{x^3}{3}=\frac{3-x^3}{3}\\&\\&y=\frac{3}{x^3-3}\\&\\&2.-\\& \frac{dy}{y}= -dx\\&\\&\int \frac{dy}{y}=\int -dx\\&\\&ln y=-x+C\\&\\&y=e^{-x+C}=e^{-x}·e^C=k·e^{-x}\\&\\&3=ke^0=k\\&y=3e^{-x}\end{align}$$
