¿Tengo una duda con la aplicación del calculo vectorial?
Hay que resolver el problema por medio de calculo vectorial, pero tengo duda pues faltaron ver algunos temas de la materia.
2 Respuestas
;)
Hola antonio jimenez!
Yo eso lo resuelvo por el método de los multiplicadores de Lagrange. Espero que sea lo que quieres.
La función a optimizar es el volumen
V=xyz
Sometida a una restricción de superficie.
La restricción la escribimos en forma de función igualada a 0
x+2y+2x-108=0
El máximo de la función se calcula a partir del Lagrangiano, que se monta así:
$$\begin{align}&L=xyz- \lambda (x+2y+2z-108)\\&\\&En \ los \ puntos \ críticos \ las \ siguientes \ derivadas \ parciales \ han \ de \ ser \ 0\\&\\&L_x=yz+\lambda\\&L_y=xz+2 \lambda\\&L_z=xy+2 \lambda\\&L_{\lambda}=x+2y+2z-108\\&\\&L_x=0 \rightarrow yz+\lambda =0 \Rightarrow \lambda=-yz\\&\\&L_y=0 \rightarrow xz+2 \lambda=0 \ \Rightarrow \lambda=\frac{-xz}{2}\\&\\&Igualandolas: -yz=\frac{-xz}{2} \Rightarrow x=2y\\&\\&L_z=0 \Rightarrow \lambda =- \frac{xy}{2}\\&\\&Igualando \ las \ dos \ últimas:\\&\frac{-xz}{2}=- \frac{xy}{2} \Rightarrow y=z\\&\\&Sustituyendo \ lo \ anterior \ en \\&L_{\lambda}=0\\&\\&x+2y+2z-108=0\\&\\&2y+2y+2y=108\\&\\&y=\frac{108}{6}=18\\&\\&z=18\\&\\&x=36\end{align}$$lo cual era de esperar ya que y i z son intercambiables y no hay una más guapa que la otra.
Saludos
;)
;)
;)
Escribí mal el Lagrangiano, vacon +
Pero por lo demás está todo correcto
$$\begin{align}&L=xyz+ \lambda(x+2y+2x-108)\end{align}$$;)
;)
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¡Hola Antonio!
Seguramente la forma en la que lo tendrás que hacer es por los multiplicadores de Lagrange. Pero cuando llevas hechos unos cuantos te fijas que cuando las variables son intercambiables tienen el mismo valor en los puntos críticos, lógico por que las derivadas parciales también tienen las variables intercambiables. Entonces tienes la expresión de volumen:
V(x,y,z) = xyz
y la restricción
x+2y+2z <=108
es iluso pensar que el máximo este en un valor
x+2y+2z < 108
Ya que estaremos tomando una variable con un valor menor del posible y el producto será por tanto menor del que podría tener, luego la restricción es
x+2y+2z = 108
Resumiendo tenemos que en la función de volumen y en la de restricción las variables {y, z} son intercambiables, juegan el mismo papel, las mismas derivadas y no puede ser que el el máximo una tenga un valor y otra otro distinto. Asi podemos tomar la misma y las funciones serán
V(x,y) = xy²
x + 4y = 108
Y siendo solo dos variables casi lo podemos resolver sin Lagrange, despejamos x en la segunda
x = 108-4y
y la llevamos a la primera
V(y) = (108-4y)y²= 108y² - 4y³
V'(y) = 216 y - 12y² = 0
y=0 (este nos dará volumen 0 no sirve)
216 - 12y = 0
12y = 216
y=18
x= 108 - 4·18 = 108 - 72 = 36
Luego las dimensiones son
x=36, y= 18, z=18
Y eso es todo, sa lu dos.
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