Halla la ecuación del elipsoide que pasa por los puntos (2,2,2),(3,1,√3),(-2,0,4)

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Hola omar!

La ecuación de un elipsoide centrado en el origen, simétrico respecto los plano coordenados, tiene de ecuación:

$$\begin{align}&\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\\&\\&sustituyendo \ los \ puntos:\\&(2,2,2)\\&\frac{4}{a^2}+ \frac{4}{b^2}+\frac{4}{c^2}=1\\&\\&(3,1, \sqrt 3)\\&\frac{9}{a^2}+ \frac{1}{b^2}+\frac{3}{c^2}=1\\&\\&(-2,0,4)\\&\frac{4}{a^2}+\frac{16}{c^2}=1\\&resolviendo \ el \ sistema:\\&Cambios \de \ variable:\\&\frac{1}{a^2}=z\\&\frac{1}{b^2}=t\\&\frac{1}{c^2}=v\\&\\&4z+4t+4v=1\\&9z+t+3v=1\\&4z+16v=1\\&\\&resolviendo :Gauss\\&z=\frac{1}{12}\\&\\&t=\frac{1}{8}\\&\\&v=\frac{1}{24}\\&\\&elipsoide:\\&\frac{1}{12}x^2+\frac{1}{8}y^2+\frac{1}{24}t^2=1\\&\end{align}$$

saludos

;)

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¡Hola Omar!

Si el elipsoide es simétrico respecto todos los planos coordenados está centrado en el origen y su ecuación será:

$$\begin{align}&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\\&\\&\text{Sustituyendo los tres puntos tendremos}\\&\\&\frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}+\frac{4}{c^2}=1\\&\\&\frac{9}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{3}{c^2}=1\\&\\&\frac{4}{a^2}+\frac{16}{c^2}=1\\&\\&\text{La segunda por (-4) la sumamos a la primera}\\&\\&-\frac{32}{a^2}-\frac{8}{c^2}=-3\\&\\&\text{Y ahora sumo a esta la tercera dividida por 2}\\&\\&-\frac {30}{a^2}=-2.5\\&\\&a^2=12\\&\\&\text{Vamos a la tercera}\\&\\&\frac{4}{12}+\frac {16}{c^2}=1\\&\\&\frac{16}{c^2}=1-\frac 13= \frac 23\\&\\&c^2= \frac{16·3}{2}=24\\&\\&\text{Y ahora vamos a la primera}\\&\\&\frac{4}{12}+\frac{4}{b^2}+\frac{4}{24}=1\\&\\&\frac{4}{b^2}=1-\frac 13-\frac 16=\frac{6-2-1}{6}=\frac 12\\&\\&b^2=2·4=8\\&\\&\text{Luego el elipsoide es}\\&\\&\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}+\frac{z^2}{24}=1\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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