¿Cuáles son las Ecuaciones diferenciales ordinarias reducibles a homogéneas, quien desarrollo el método?
Necesito si es posible detalles acerca de este tipo de ecuaciones diferenciales, no tengo mucha experiencia en ello y me interesa.
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¡Hola Oscar!
Lo que preguntas es pura teoría, mejor que escribirlo yo te doy un enlace como otros tantos que podrías encontrar: Ecuaciones diferenciales homogéneas
Bueno, lo explico un poco. Al ser f una función homogénea
dy/dx = f(x,y)
se puede dividir por x las variables quedando
dy/dx = f(1, y/x)
y con el cambio
u = y/x
y=ux
queda
dy/dx = (du/dx) · x + u = f(1,u)
(du/dx)·x = f(1,u) -u
du/[f(1,u)-u] = dx/x
Que es una ecuación de variables separadas.
Y eso es todo, si tienes dudas manda otras preguntas con ejercicios concretos.
Saludos.
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$$\begin{align}&dy/dx= f[(ax+by+c)/(ax_1+by_1+c_1)\end{align}$$En realidad es sobre este tipo de ecuaciones.
¡Gracias!
$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Oscar!
Espero que al final cambies la valoración normal por Excelente para que pueda seguir contestando más preguntas tuyas.
Hay que hacer cambios de variable para obtener una ecuación diferencial homogénea y entonces se resuelve como te dije antes y después deshaces el cambio.
En el modelo que has puesto no pueden llevar subíndices las variables que has puesto en el denominador, son las mismas x, y que las de arriba. Luego lo de la f me parece que está de sobra.
$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}\\&\\&\text{Solucionas el sistema de ecuaciones}\\&ax+by+c=0\\&a_1x+b_1y+c_1=0\\&\\&\text{i) Si tiene respuesta }(x_0,y_0) \text{ haces los cambios}\\&\\&x=u+x_0\implies dx=du\\&y=v+y_0\implies dy=dv\\&\\&\text{y queda}\\&\\&\frac{dv}{du}=\frac{a(u+x_0)+b(v+y_0)+c}{a_1(u+x_0)+b_1(v+y_0)+c_1}\\&\\&\frac{dv}{du}=\frac{au+ax_0+bv+by_0+c}{a_1u+a_1x_0+b_1v+b_1y_0+c_1}\\&\\&\frac{dv}{du}=\frac{au+bv+ax_0+by_0+c}{a_1u+b_1v+a_1x_0+b_1y_0+c_1}\\&\\&\text{Pero como }(x_0,y_0)\text{ eran solución de las}\\&\text{ecuaciones que puse, entonces los tres}\\&\text{últimos términos del numerador y denominador}\\&\text{suman 0}\\&\\&\frac{dv}{du}=\frac{au+bv}{a_1u+b_1v}\\&\\&\text{Y esa es una ecuación homogénea}\\&\\&\\&ii) \text{ Si no tiene respuesta son proporcionales}\\&\text{Tendrás }\\&\\&a_1x+b_1y = k(ax+by)\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{ax+by+c}{k(ax+by)+c_1}\\&\\&\text{Hacemos el cambio}\\&v=ax+by\\&\text{para dejarla en las variables x, v}\\&\\&dv= adx + bdy\implies dy=\frac{dv-adx}{b}\\&\\&\frac{\frac{dv-adx}{b}}{dx}=\frac{v+c}{kv+c_1}\\&\\&\frac{(kv+c_1)\,dv}{b}- \frac{(kv+c_1)adx}{b}=(v+c)dx\\&\\&\frac{(kv+c_1)\,dv}{b}= \frac{(kv+c_1)adx}{b}+(v+c)dx\\&\\&\frac{kv+c_1}{b} dv= \frac{a(kv+c_1)+b(v+c)}{b} dx\\&\\&\frac{kv+c_1}{a(kv+c_1)+b(v+c)}dv=dx\\&\\&\text{es de variables separadas}\\&\\&\int \frac{kv+c_1}{a(kv+c_1)+b(v+c)}dv=x+C\\&\end{align}$$Y eso es todo, no olvides cambiar la valoración aquí abajo donde pone votada.
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