Pruebe que todo número real tiene una expresión decimal única.
Sea por un número real positivo y sea a el mayor entero menor o igual a x. Sea a1 el mayor entero tal que a+ el mayor entero tal que a +a1 \ 10 + a2 \102 ≤ x, en general supuesto que sea encontrado a1, a2,……an enteros no negativos tales que a++………….+, sea an +1 el mayor entero tal que a+ a1/10+………….+an/(10^n).
La expresión a,a1,a2…………………….an ……. Se llama la expresión decimal de x. Pruebe que el sup { a+ a1/10 +………….+ an /(10n): n ЄN*} = x y que la expresión decimal de x es única.
1 respuesta
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¡Hola Vanessa!
Si solo tomamos a, por la forma en que se elige tendremos
x € [a, a+1)
al tomar a y a1 tendremos
x € [a+a1/10, a+(a1+1)/10]
Y tomando hasta a_n tendremos
$$\begin{align}&x\in \left[a+ \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+...+\frac{a_n}{10^n} ,\;a+ \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+...+\frac{a_n+1}{10^n} \right)\\&\\&\text{La longitud de este intervalo es } \frac 1{10^n}\\&\\&\text{Dado un }\epsilon \gt 0 \;\exists n\;t.q. \frac{1}{10^n}\lt\epsilon\\&\\&\text{entonces}\\&\\& a+ \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+...+\frac{a_n}{10^n}-x\lt \epsilon\end{align}$$Luego esas expresiones son crecientes conforme incrementamos n y menores que x siempre.
Toda sucesión de números reales monótona creciente y acotada tiene supremo. Tenemos que x es una cota superior de las expresiones y si tomamos un número y menor que x, haciendo epsilon = x-y podemos tomar un n suficientemente grande para que
x- expresión < epsilon = x-y
- expresión < -y
expresión > y
Con lo cual y no es cota superior de todas las expresiones.
. Luego x es la menor cota superior de todas las expresiones, por lo tanto es el supremo de ellas.
Y eso es todo, sa lu dos.
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