¿Cómo se resuelve por inducción esta igualdad?

En la inducción lo primero que debés probar es el "caso base", que puede ser: 0, 1 o incluso en algunos casos un número mayor (lo que se conoce como "inducción desplazada").

Una vez que probaste el caso base, lo que tenés que hacer es: suponiendo que vale para 'n', probar que vale para 'n+1'; y esto lo haces, partiendo del caso para 'n+1' de un lado de la igualdad, reescribís la fórmula para que te quede la expresión de 'n', en ese momento usas el paso inductivo y luego intentás rearmar el lado derecho de la fórmula de 'n+1'. Veámoslo con tu ejemplo:

$$\begin{align}&\sum_{k=1}^{2n}(2k-1) = 4n^2\\&\text{Caso base, n=1}\\&\sum_{k=1}^{2\cdot 1=2}(2k-1) = (2\cdot 1 - 1) + (2\cdot2-1) = 1+3 = 4 = 4\cdot 1^2 (Vale!)\\&P(n) \to P(n+1)\\&Escribo\ P(n+1)\\&\sum_{k=1}^{2(n+1)}(2k-1) = 4(n+1)^2 \text{A partir del lado izquierdo, voy a intentar llegar al lado izquierdo de P(n)}\\&\sum_{k=1}^{2n+2}(2k-1) = \sum_{k=1}^{2n}(2k-1) + (2(2n+1)-1) +(2(2n+2)-1) = \text{Acá podemos usar el paso inductivo}\\&4n^2 + (2(2n+1)-1) +(2(2n+2)-1) = \text{y ahora tenemos que ver si reacomodando estos términos, podemos llegar a la expresión del lado derecho de P(n+1)}\\&4n^2 + (4n+1) +(4n+3)= 4n^2 + 8n+4=4(n^2+2n+1) = 4(n+1)^2 \text{ (Que es lo que queríamos demostrar!!!)}\end{align}$$

Salu2