Hallar la ecuacion de la parabola

Son muchos ejercicios para una sola pregunta, te hago el primero y envía el resto en otras preguntas o espera que otro experto te conteste.

Sabemos que una ecuación cuadrática tiene la forma

y = ax^2 + bx + c

Por otro lado te están dando el vértice y el eje de simetría (x=0)

Acá hay varias formas de seguir, dependiendo de tu grado de avance en cálculo. Uno de ellos es que esta función (la parábola) es par respecto a su eje de simetría, y encima en este caso está muy sencillo porque el eje es justamente cuando x=0.

Que sea par lo que significa es que la función a la izquierda y a la derecha del eje vale lo mismo. O sea

f(-1) = 4 = f(1) (recordá que el eje de simetría era x=0)

Y ya tenemos los 3 puntos que necesitamos para reconstruir la expresión, ya que sabemos que los puntos (0,0), (-1,4), (1,4) pertenecen a la función, así que podemos decir:

0 = a * 0^2 + b * 0 + c............(1)
4 = a * (-1)^2 + b * (-1) + c....(2)
4 = a * 1^2 + b * 1 + c............(3)
de (1), c=0
sumando (2) + (3)
8 = 2a por lo tanto a = 4
Reemplazando en (2)  (o en (3))
b = 0

Por lo tanto la ecuación es 

y = 4x^2

Salu2