Demostrar cuando es un subgrupo, sin usar el grupo de isotropía...álgebra abstracta!
Esperando su apoyo en este ejercicio, de antemano muchas gracias!
Si G es un grupo y g ∈G, el centralizador de g ∈G, es el conjunto C_G (g) ∶={σ∈G ∶ σg=gσ}, es decir, es el subconjunto de elementos de G que conmutan con el elemento g dado. Demuestre que C_G (g) es un subgrupo de G sin usar el grupo de isotropía G_g={σ∈G∶ σ*g:g}.
1 Respuesta
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¡Hola Zankass!
Siempre que te pidan demostrar que un conjunto S es un subgrupo piensa en usar el teorema de caracterización de subgrupos.
i) S es no vacío
Ii) Para todo a y b de S se cumple ab^-1 pertenece a S
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i) C_G(g) no es el vació porque el elemento neutro pertenece a él
1·g = g·1 = g
ii) Sean a y b elementos que conmutan con g
ag = ga
bg = gb
Si tomamos inversos en esta segunda
(bg)^-1 = (gb)^-1
g^-1·b^-1 = b^-1·g^-1
Si multiplicamos a izquierdas por ag y ga
ag·g^-1·b^-1= ga·b^-1·g^-1
ab^-1 = ga·b^-1·g^-1
multiplicamos a derechas por g
ab^-1·g = gab^-1·g^-1·g
ab^-1·g = g·ab^-1
Luego ab^-1 conmuta con g luego pertenece a C_G(g)
Y con esto queda demostrado el teorema de caracterización, luego C_G(g) es un subgrupo de G
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Y eso es todo, saludos.
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