Ecuación diferencial de una parabola
Ejercicio 1:
La ecuación de las parábolas verticales cuyo vértice es V (h, k) y que abre hacia arriba es:
$$\begin{align}&(x-h)^2=4p(y-k) ......................................(1)\end{align}$$Nota: El valor de (p) es en valor absoluto. A partir de la expresión (1), determine la Ecuación Diferencial de todas las parábolas cuyo vértice es un punto cualquiera (h, k) del plano y que abren hacia arriba.
A manera de repaso se presenta la figura 1, que es la gráfica de una parábola que se describe por medio de la ec. (1), en donde “p" es el parámetro de la parábola y dependiendo de su valor la parábola se abre o cierra más.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Mauricio!
Para obtener la ecuación diferencial lo que hay que hacer es derivar implícitamente la ecuación de la parábola.
$$\begin{align}&(x-h)^2=4p(y-k)\\&\\&2(x-h) dx = 4p\, dy\\&\\&\text{Y ahora déjala como quieras, por ejemplo}\\&\\&\frac{dy}{dx}= \frac{2(x-h)}{4p}\\&\\&\frac {dy}{dx}= \frac{x-h}{2p}\\&\\&y'=\frac{x-h}{2p}\end{align}$$Como dicen que se abren hacia arriba debe ser p >0
Y eso es todo, saludos.
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