Determine si "y1", "y2" son soluciones de la Ecuación Diferencial y encuentre la solución que satisface las condiciones
- Se tienen las siguientes funciones:
$$\begin{align}&y_1=e^x ; y_2=xe^x\end{align}$$a) Determine si y1, y2, son soluciones de la ED
$$\begin{align}&y´´-2y´+y=0\end{align}$$b) Encuentre la solución que satisface las condiciones iniciales
$$\begin{align}&y(0)=3 , y´(0)=1\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Mauricio!
Estos son los ejercicios sencillos de ecuaciones diferenciales.
$$\begin{align}&y_1=e^x\\&y_1'=e^x\\&y_1''=e^x\\&\\&y_1''-2y_1'+y_1= e^x-2e^x+e^x=0\\&\\&y_2=xe^x\\&y_2'= e^x + xe^x = e^x(1+x)\\&y_2''=e^x(1+x)+e^x=e^x(2+x)\\&\\&y_2''-2y_2'+y_2=e^x(2+x)-2e^x(x+1)+xe^x=\\&\\&e^x(2+x-2x-2+x) = e^x·0 = 0\\&\\&\\&b) \text{La solución general es}\\&\\&y= C_1y_1+C_2y_2=C_1e^x+C_2xe^x\\&\\&\text{Para y(0)=3 será}\\&C_1·e^0 + C^2·0·e^0=3\\&C_1=3\\&\\&\text{Luego es }\\&y= 3e^x+C_2xe^x\\&\\&\text {la derivamos}\\&\\&y'=3e^x + C^2(e^x+xe^x) = e^x(3+C_2(1+x))\\&\\&\text{Para que y'(0)= 1 será}\\&\\&e^0(3+C_2(1+0)) = 1\\&\\&3+C_2=1\\&\\&C_2=-2\\&\\&\text{luego las solución es}\\&\\&y= 3e^x - 2xe^x\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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