Cómo se resuelve este problema de cálculo?
Calcula el sólido de revolución al girar la región limitada de las siguientes funciones dadas alrededor del eje especificado
2 Respuestas
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¡Hola Miguel Ángel!
El volumen será el generado por la curva más externa menos en engendrado por la más interna. En caso de que no se sepa cual es cual si esa operación te da un valor negativo se lo cambias.
Lo que sí es importante es que las curvas no se crucen en el intervalo de integración. Si pasa eso habrá que resolver el volumen en cada intervalo entre los puntos de corte.
Las funciones y=x y y=e^x no se cortan nunca, puedes comprobarlo si quieres, me ahorro hacer la gráfica.
El método será el de los discos, el más apropiado si el eje de giro es X
Entonces, la formula para el volumen entre las dos curvas es:
$$\begin{align}&V=\pi\int_{x_1}^{x_2}\left(f(x)^2-g(x)^2\right)dx\\&\\&V=\pi\int_0^1(e^{2x}-x^2)dx=\\&\\&\pi\left[\frac 12 e^{2x}-\frac{x^3}3 \right]_0^1=\\&\\&\pi\left(\frac{e^2}{2}-\frac 13-\frac 12+0 \right)=\frac{3e^2-2-3}{6}·\pi=\\&\\&\frac{(3e^2-5)\pi}{6}\approx 8.9887083\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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Ambas funciones giran "al mismo tiempo", ¿es decir forman una sola figura la intersección de ambas o es por separado?