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¡Hola Miguel Angel!
Siempre tenemos tiempo para ir al revés. De modo que los cascarones se usan para calcular volúmenes de revolución cuando se gira alrededor del eje Y ahora nos dicen que los usemos para una curva girando alrededor del eje X.
No pasa nada, simplemente todo lo que antes era x ahora será y y viceversa. Para empezar ya se han dado cuenta de ello y la función nos la dan como
x=f(y) = 1+y^2
Aunque es sencillo haré la gráfica, con los cascarones hay que tener cuidado que se integra a un solo lado del eje ya que si no estaremos sumando dos veces el mismo cascarón.
La fórmula de los cascarones adaptada al giro sobre el eje X del volumen entre una curva x=f(y) y el eje Y, entre los valores y=y_1 y y=y_2 es:
$$\begin{align}&V=2\pi\int_{y_1}^{y_2}y·f(y)dy\\&\\&V=2\pi \int_1^2y(y^2+1) dy=\\&\\&2\pi\int_1^2(y^3+y)dy=\\&\\&2\pi \left[\frac{y^4}{4}+\frac {y^2}2 \right]_1^2=\\&\\&2\pi\left(4+2-\frac 14-\frac 12 \right)= \\&\\&2\pi· \frac{24-1-2}{4}= \frac{21\pi}2\end{align}$$
Y eso es todo, sa lu dos.
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