Como pudo resolver los siguientes integrales?

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¡Hola Lirio!

Vamos a hacerlos por cambio de variable para variar:

$$\begin{align}&\int (7x-2)^2dx=\\&\\&t=7x-2\\&dt=7dx\implies dx = \frac 17dx\\&\\&=\frac 17\int t^2 dt= \frac{t^3}{21}+C= \frac{(7x-2)^3}{21}+C\\&\\&\text{Y claro, la gracia del método es dejarlo así, porque}\\&\text{si tenemos que desarrollarlo ya no compensa.}\\&\text{No obstante lo hago para verificar}\\&\\&=\frac{7^3x^3-3·7^2x^2·2+3·7·x·4-8}{21}+C=\\&\\&\frac{49}{3}x^3-14x^2+4x -\frac 8{21}+C=\\&\\&\text{el 8/21 es una constante, luego lo metemos en el contenedor C}\\&\\&=\frac{49}{3}x^3-14x^2+4x +C\\&\\&\text{que es lo mismo que obtuvo Lucas}\\&\\&\\&6)\\&\\&\int \frac{3 \cos 5x}{sen \,5x}dx =\\&\\&t= sen 5x\\&dt= \cos 5x\;dx\\&\\&=\int \frac{3}{t}dt= 3ln|t|+C= 3 ln|sen 5x|+C\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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;)

5.-

Aplicando detalladamente las propiedades que te escribí en la otra pregunta escribirías:

$$\begin{align}&\int(7x-2)^2dx= \int (49x^2-28x+4)dx= \int 49x^2dx + \int -28x dx + \int 4 dx=\\&\\&49 \int x^2 dx-28 \int x dx + 4 \int dx=\\&\\&49 \frac{x^{2+1}}{2+1}-28 \frac{x^{1+1}}{1+1} +4x +C=\\&\\&49 \frac{x^3}{3}-28 \frac{x^2}{2}+4x+C\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\int 20dx=20x+C\end{align}$$

6.- 

$$\begin{align}&3 \int \frac{\cos(5x)}{sen(5x)}dx= \frac{3}{5} ln|sen(5x)|+C\end{align}$$

saludos

;)

;)