¿Hay irregularidades en mi contrato?

Hace unos 5 meses que cambié de trabajo.
Llevo unos 5 meses trabajando y no he firmado ningún contrato, no lo he leído, no lo he visto. Tampoco nóminas. Nunca nadie me ha dicho lo de "pásate por la oficina a firmar el contrato", "firma y toma tu copia". Desde que empecé a trabajar nadie me ha hablado de mi contrato, solo me dijeron que era a jornada completa, me informaron de los horarios y del sueldo, punto.
Todos los trabajadores fichamos y conservo horarios impresos en papel.
Sé que estoy dado de alta en la SS desde el primer día y la empresa me ingresa el sueldo por transferencia, pero no he visto mi contrato, no conozco su contenido y no he firmado nada.
Intuyo que me contrata la propia empresa, no ETT, ya que en las notificaciones de tesorería y en los extractos bancarios aparece el nombre de la empresa.
Pues bueno, resulta que me dan vacaciones del 27 de agosto al 11 de septiembre, ambos inclusive, 16 días. Aunque no me acaba de cuadrar que me den 16 días de vacaciones por algo menos de 5 meses trabajados, sé que me deben algún día, así que no me como la cabeza y firmamos las vacaciones, yo y mi jefe. Me quedo con copia.
Estoy de vacaciones y sucede algo que me resulta extraño. Recibo un mensaje de tesorería que me comunica que me han despedido (baja) el 31 de agosto y me han vuelto a contratar (alta) el 2 de septiembre. Me resulta muy extraño que la empresa no me ha dicho absolutamente nada de esto y que me han despedido y me han vuelto a contratar durante mi periodo de vacaciones, firmadas y con comprobante.
¿Es legal que yo no haya visto ni firmado mi contrato?
Entiendo que, por ejemplo, no he firmado una clausula de confidencialidad. Tengo acceso a mucha información que a la competencia le interesaría muchísimo. Es un ejemplo, no lo voy a hacer, pero podría compartir esa información con la competencia o hacerla pública porque no he firmado ningún contrato, ¿no? Podría contar por ahí como funciona la empresa y no me pasaría nada, ¿no?
He leído que en ciertos tipos de contrato (diría que el mío está incluido pero no lo aseguro porque no lo he visto) es obligatorio su firma y copia para el trabajador, y si no lo hay se considera un contrato indefinido a tiempo completo.
Aquí me asaltan muchas dudas.
Si me han despedido el 31 de agosto, me tienen que finiquitar, pero nadie me ha dicho nada y aún no he vuelto de mis vacaciones, por lo tanto no sé lo que me espera. Como no he firmado nada, ¿se supone que soy indefinido a jornada completa y me tienen que finiquitar como despido improcedente?
¿Qué hago si me dan a firmar un finiquito con despido procedente? ¿Y si me dan para firmar el primer contrato? ¿Y si me dan para firmar el segundo? ¿Y si me dan para firmar los dos? ¿Firmo algo?
¿Es legal y normal que me hayan despedido y recontratado durante mi periodo de vacaciones? Además, me dan de baja el 31 de agosto y de alta el día 2 de septiembre, ¿qué pasa con el día 1?
La verdad es que estoy muy perdido en el tema y agradecería la ayuda de alguien con conocimientos.