De que manera se puede resolver este problema de cálculo integral?
- Si f(x) = x3 - 8x - 5, demuestra que ´´f ´´satisface la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [1,4] y halla un número ´´c´´ en el intervalo abierto (1,4) que satisfaga la conclusión del teorema
Respuesta de Lucas m
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;)
Hola Miguel Angel!
El teorema del valor medio, según wikipedia:
En esencia, el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (b, f(b)) y (a, f(a)). Es decir:
La función es polinómica, luego es continua y derivable en todos los reales.
Luego existirá un c en (1,4) que cumplirá:
$$\begin{align}&f'(c)=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}\\&\\&f(4)=4^3-8·4-5=27\\&\\&f(1)=1-8-5=-12\\&\\&f'(x)=3x^2-8\\&\\&\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{27-(-12)}{4-1}=\frac{39}{3}=13\\&\\&f'(c)=3c^2-8\\&\\&\\&3c^2-8=13\\&\\&3c^2=21\\&\\&c^2=7\\&\\&c=\pm \sqrt {27}\simeq \pm2.64\\&\\&Luego\\&\\&c=+ \sqrt{27}\end{align}$$
Saludos
;)
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