Factor integral de la forma u(x,y)=u(x+y)
$$\begin{align}&(x+1)^2+(1+x^2)dy/dx=0\end{align}$$Resolver la ecuacion diferencial si el factor que hace exacta la ecuacion es una funcion u(x,y)=u(x+y).
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Oscar!
Este tipo de factor integrante no es de los que se estudian habitualmente, se que existe porque lo he visto alguna vez en la Wikipedia.
Dicen que es:
$$\begin{align}&e^{\int \frac{N_x-M_y}{M-N}dz}\quad donde \;z=x+y\\&\\&(x+1)^2+ (1+x^2) \frac {dy}{dx}=0\\&\\&(x+1)^2dx +(1+x^2) dy =0\\&\\&M_y=0\\&N_x=2x\\&\\&\text{sospecho que el enunciado esté mal}\\&\\&\frac{N_x-M_y}{M-N}= \frac{2x}{(x+1)^2-1-x^2}=\frac {2x}{2x}=1\\&\\&\text{Se podría haber resuelto con uno que dependiera solo de x}\\&\\&\mu(x,y)=e^{\int dz}=e^z=e^{x+y}\\&\\&e^{x+y}(x+1)^2dx +e^{x+y}(1+x^2) dy =0\\&\\&M_y=(x+1)^2e^{x+y}\\&N_x=e^{x+y}(1+x^2)+e^{x+y}·2x= (x+1)^2e^{x+y}\\&\\&\text{es exacta pero vaya rodeo estamos dando}\\&\\&\text{Integro Ndy que es más fácil}\\&\\&u(x,y)=\int e^{x+y}(1+x^2) dy=(1+x^2)e^{x+y}+\varphi(x)\\&\\&\text{derivandolo respecto de x debe valer M}\\&\\&2xe^{x+y}+(1+x^2)e^{x+y}+\varphi'(x) = (x+1)^2e^{x+y}\\&\\&(x+1)^2e^{x+y}+ \varphi'(x)=(x+1)^2e^{x+y}\\&\\&\varphi'(x)=0\\&\\&\varphi(x)=C\\&\\&\text{Con ello la solución es}\\&\\&u(x,y)=(1+x^2)e^{x+y}+C=0\\&\\&(1+x^2)e^{x+y}=C\\&\\&e^{x+y}=\frac{C}{1+x^2}\\&\\&x+y= ln \frac{C}{1+x^2}\\&\\&y = -x+ ln \frac{C}{1+x^2}\\&\\&\text{que quedará mejor así por las propiedades de los}\\&\text{logaritmos y reutilizando el nombre de la constante}\\&\\&y = C -x -ln(1+x^2)\\&\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo, es un ejercicio un poco raro pero supongo que será así. Y si es diferente mándalo en otra pregunta, aquí ya se trabajó bastante.
Sa lu dos.
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